2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--3.1　函数的概念及其表示（课件）

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知识梳理1.函数的概念一般地,设A,B是　　　　的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有　　　　　　的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A. 
2.函数的定义域、值域
(1)在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的　　　　;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的　　　　　　　　叫做函数的　　　　. (2)如果两个函数的　　　　　　相同,并且　　　　 　完全一致,那么这两个函数是同一个函数. 
函数的定义域和值域必须写成集合(或区间)的形式
集合{f(x)|x∈A}
微点拨对函数概念的理解 (1)函数的三要素是定义域、值域和对应关系;(2)如果两个函数的定义域和对应关系相同,这两个函数就是同一个函数,这是判断两个函数是否为同一个函数的依据;(3)函数常用的表示方法有:解析法、列表法、图象法.
(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
解析式中含有绝对值的函数经常可化为分段函数
微拓展复合函数:一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)),其中y=f(u)叫做复合函数y=f(g(x))的外层函数,u=g(x)叫做y=f(g(x))的内层函数.
常用结论1.直线x=a(a为常数)与函数y=f(x)的图象至多有一个交点.2.只要两个函数的定义域和解析式相同,那么它们的值域一定相同.
4.常见函数的定义域:①一次函数、二次函数的定义域为R;②分式函数中分母不能为0;③偶次根式函数的被开方式非负;④零次幂的底数不能为0;⑤y=ax(a>0,a≠1),y=sin x,y=cs x的定义域为R;⑥y=lgax(a>0,a≠1)的定义域为(0,+∞);⑦y=tan x的定义域为
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若两个函数的值域和对应关系相同,这两个函数必为同一个函数.(　　)
(3)任何函数的图象均不可能是一条封闭的曲线.(　　)
答案 (0,1]
解析 要使函数有意义,则需 解得0答案 [0,1)　解析 依题意ax2-2ax+1≠0对x∈R恒成立.当a=0时,满足条件;当a≠0时,应有Δ=4a2-4a<0,解得0典例突破例1.(1)(2021湖北荆州高三月考)定义域是一个函数的三要素之一,已知函数g(x)定义域为[211,985],则函数f(x)=g(2 018x)+g(2 021x)的定义域为(　　)
突破技巧1.求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式:构建使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)复合函数:①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出;②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.(3)实际问题:既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题的要求.
2.求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形,以免定义域变化.(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集.(3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.
对点训练1(1)(2021浙江金华高三期中)已知函数f(x)的定义域为[-2,1],则函数y= 的定义域为(　　)A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)
(2)(2021湖北襄阳高三期末)已知函数y=f 的定义域是[1,+∞),则函数y=f(x)的定义域是　　　　　. 
答案 (1)D　(2)(1,2]　
典例突破例2.根据下列条件求函数的解析式:(1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x)-2f(x-1)=2x+5,求f(x)的解析式;(2)已知函数f(x)满足f(cs x-1)=cs 2x-1,求f(x)的解析式;
(4)已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x)的解析式.
解 (1)依题意设f(x)=ax+b(a≠0),则由3f(x)-2f(x-1)=2x+5可得3(ax+b)-2[a(x-1)+b]=2x+5,
(2)函数f(x)满足f(cs x-1)=cs 2x-1=2cs2x-1-1=2cs2x-2,设cs x-1=t,则cs x=t+1,由cs x∈[-1,1]知t∈[-2,0],故原函数可转化为f(t)=2(t+1)2-2=2t2+4t,t∈[-2,0],即f(x)的解析式为f(x)=2x2+4x(-2≤x≤0).
故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2(x≥2).(4)因为f(x)+2f(-x)=x2+2x,①所以f(-x)+2f(x)=x2-2x,所以2f(-x)+4f(x)=2x2-4x,②
方法总结求函数解析式的常用方法
对点训练2(1)(2021陕西西安高三月考)若函数f(x)满足f(x)-2f =x+2,则f(2)=(　　)A.0B.2C.3D.-3
(2)(2021广东珠海高三期中)若一次函数f(x)满足f(f(x))=x+1,则g(x)= (x>0)的值域为　　　　　. 
答案 (1)D　(2)[2,+∞)　
考向1.求值问题典例突破例3.(1)(2021安徽合肥高三三模)若函数f(x)= 满足f(a)=f(2a),则f(2a)的值等于(　　)A.-2B.0C.2D.-4
答案 (1)C　(2)2　
解析 (1)由题意易知,f(x)在(0,2)上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,若f(a)=f(2a),则a,2a不在同一个单调区间上.又2a>a,∴一定有a∈(0,2),2a∈[2,+∞),∴2a=4-2a,即2a=2,∴a=1.故f(2a)=f(2)=4-2=2,故选C.
(2)f[f( )]=f(6-4)=f(2)=|2-3|+a=3,故a=2.
突破技巧求解分段函数求值问题的策略(1)求分段函数的函数值时,要先确定所求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值;(2)当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值;(3)当自变量的值所在区间不确定时,要分类讨论,分类标准应参照分段函数不同段的端点;(4)求参数或自变量的值或取值范围时,先在分段函数的各段上分别求解,然后将求出的值或取值范围与该段函数的自变量的取值范围求交集,最后将各段的结果合起来(取并集)即可.
对点训练3(1)(2021浙江湖州高三月考)已知函数f(x)= 若f(a)=5,则a=(　　)A.-2B.-2或1C.2或-2D.2或-2或1
(2)(2021湖南长沙长郡中学高三二模)已知函数f(x)= 则f(-5)=　　　　　. 
答案 (1)B　(2)e　
解析 (1)当a≤0时,f(a)=a2+1=5,解得a=-2;当a>0时,f(a)=2a+3=5,解得a=1.故选B.
(2)由f(x)= 得f(-5)=f(-5+2)=f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=e.
考向2.分段函数与不等式典例突破
例4.(2021山东潍坊高三三模)设函数f(x)= 则不等式f(1-|x|)+f(2)>0的解集为　　　　　. 
答案 (-3,3)　解析 由函数解析式知f(x)在R上单调递增,且-f(2)=-2=f(-2),则f(1-|x|)+f(2)>0⇒f(1-|x|)>-f(2)=f(-2),由单调性知1-|x|>-2,解得-3突破技巧解决分段函数与不等式问题的基本策略(1)分类讨论:解由分段函数构成的不等式,一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论,根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(取值范围)是否符合相应段的自变量的取值范围,然后将各段的结果求并集即可.(2)数形结合:解决分段函数问题时,通过画出函数的图象,对代数问题进行转化,结合图形直观地分析判断,可以快速准确地解决问题.
解析 f(2a-1)-1≤0,即f(2a-1)≤1.①当2a-1≥1时,f(2a-1)=ln(2a-1)≤1,
考向3.与分段函数有关的最值与范围问题典例突破
例5.(1)(2021天津高三一模)已知函数f(x)= 若存在实数a,b,c,当a(2)(2021浙江永嘉高三二模)已知函数f(x)= 若f(x1)=f(x2),则|x1-x2|的最大值是　　　　　. 
由图可知a+b=-4,0名师点析解决分段函数最值或范围问题的基本方法(1)由两个自变量的函数值相等求这两个自变量差的最值时,可采取减少变量的方法,即将相等的函数值设为一个新变量,然后用这个新变量将两个自变量表示出来,从而将自变量之差表示为新变量的函数,同时借助图象确定新变量的取值范围,从而利用求函数最值的方法求得自变量差的最值.(2)由两个以上自变量的函数值相等求这些自变量和的取值范围时,通常要借助图象的对称性,得到其中两个自变量的和为某一定值,从而只求剩下的一个自变量的取值范围即可,这时可借助函数图象观察得到结果.