苏教版 (2019)必修 第一册2.3 全称量词命题与存在量词命题图片ppt课件

2.3.2　全称量词命题与存在量词命题的否定

课标要求　1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.

素养要求　通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，提升学生的数学抽象、逻辑推理素养.

一、命题的否定

1.思考　命题p：3的相反数是－3和命题q：3的相反数不是－3，这两个命题之间有什么关系？它们的真假性如何？

提示　命题q是命题p的否定，命题p为真命题，命题q为假命题，命题p与q真假相反.

2.填空　綈p(x)是对语句p(x)的否定，对一个命题进行否定，就得到了一个新的命题，这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”.

温馨提醒　常见的关键词的否定：

3.做一做　写出下列命题的否定：

(1)56是7的倍数；

(2)空集是集合A＝{1，2，3}的真子集.

解　(1)56不是7的倍数；

(2)空集不是集合A＝{1，2，3}的真子集.

二、全称量词命题与存在量词命题的否定

1.思考　(1)下列命题的否定是什么？ 它们与原命题在形式上有什么变化？

①所有的矩形都是平行四边形；

②每一个素数都是奇数；

③∀x∈R，x＋|x|≥0.

提示　①存在一个矩形，它不是平行四边形；②存在一个素数不是奇数；

③∃x∈R，x＋|x|<0，

命题的否定是存在量词命题，而原命题是全称量词命题.

(2)下列命题的否定是什么？ 它们与原命题在形式上有什么变化？

①存在一个实数的绝对值是正数；

②有些平行四边形是菱形；

③∃x∈R，x2－2x＋3＝0.

提示　①任何实数的绝对值都不是正数；

②所有的平行四边形都不是菱形；

③∀x∈R，x2－2x＋3≠0.

命题的否定是全称量词命题，而原命题是存在量词命题.

2.填空　(1)全称量词命题的否定

一般地，全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定是存在量词命题“∃x∈M，綈p(x)”.

(2)存在量词命题的否定

一般地，存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是全称量词命题“∀x∈M，綈p(x)”.

温馨提醒　(1)全称量词命题的否定的两个关注点

①量词：把全称量词改为存在量词，一般变特殊.

②结论：结合一些常见词语的否定，将结论进行否定.可见，全称量词命题的否定是存在量词命题.

(2)存在量词命题的否定的两个关注点

①量词：把存在量词改为全称量词，特殊变一般.

②结论：结合一些常见词语的否定，将结论进行否定.可见，存在量词命题的否定是全称量词命题.

3.做一做　(1)命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是(　　)

A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根

B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根

C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根

D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根

答案　C

解析　命题p是存在量词命题，其否定为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根.

(2)命题：∀x∈R，x2－x＋1≠0的否定是________.

答案　∃x∈R，x2－x＋1＝0

解析　因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以∀x∈R，x2－x＋1≠0的否定是：∃x∈R，x2－x＋1＝0.

题型一　全称量词命题的否定

例1 判断下列全称量词命题的真假，并写出这些命题的否定.

(1)三角形的内角和为180°；

(2)每个二次函数的图象都开口向下；

(3)任何一个平行四边形的对边都平行；

(4)负数的平方是正数.

解　(1)是真命题.

命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，它的内角和不等于180°.

(2)是假命题.

命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下.

(3)是真命题.

命题的否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.

(4)是真命题.

命题的否定：某个负数的平方不是正数.

思维升华　全称量词命题否定的步骤

第一步改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；

第二步否定结论：原命题中的“p(x)成立”改为“綈p(x)成立”.

训练1 写出下列全称量词命题的否定：

(1)每一个四边形的四个顶点共圆；

(2)所有自然数的平方都是正数；

(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；

(4)对任意实数x，x2＋1≥0.

解　(1)该命题的否定为：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.

(2)该命题的否定为：有些自然数的平方不是正数.

(3)该命题的否定为：存在实数x不是方程5x－12＝0的根.

(4)该命题的否定为：存在实数x，使得x2＋1<0.

题型二　存在量词命题的否定

例2 写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假：

(1)∃x∈R，x2＋2x＋3≤0；

(2)至少有一个实数x，使x3＋1＝0；

(3)∃x，y∈Z，x＋y＝3.

解　(1)命题的否定：∀x∈R，x2＋2x＋3>0.

∵∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2>0恒成立，∴命题的否定为真命题.

(2)命题的否定：∀x∈R，x3＋1≠0.

∵只有当x＝－1时，x3＋1＝0，

∴命题的否定为假命题.

(3)命题的否定：∀x，y∈Z，x＋y≠3.

∵当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，

∴命题的否定为假命题.

思维升华　存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论，即p：∃x∈M，p(x)成立⇒p的否定：∀x∈M，綈p(x)成立.命题的否定的真假判断：当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.

训练2 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.

(1)有些实数的绝对值是正数；

(2)某些平行四边形是菱形.

解　(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.

(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.它为假命题.

题型三　由命题的真假求参数的值(取值范围)

例3 已知p：∀x∈[－1，2]，x2－m≥0.若p的否定为假命题，求实数m的取值范围.

解　∵p的否定为假命题，∴p为真命题，

即x2－m≥0，x∈[－1，2]恒成立.

∴m≤x2，x∈[－1，2]恒成立.

易知y＝x2，x∈[－1，2]的最小值为0，∴m≤0，即实数m的取值范围是(－∞，0].

思维升华　求解含有量词的命题中参数范围的策略

(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin).

(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax).

训练3 已知命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5>0，若p的否定为假命题，求实数m的取值范围.

解　因为p的否定为假命题，所以命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5>0为真命题.

m－x2＋2x－5>0可化为m>x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，即∃x∈R，m>(x－1)2＋4成立，只需m>4即可，故实数m的取值范围为{m|m>4}.

[课堂小结]

1.理解2个概念

全称量词命题、存在量词命题的否定.

2.注意4个问题

对命题进行否定时，

(1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题.

(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.

(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.

(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定.

3.注意2个易错点

对含有一个量词的命题，否定时，不能只否定结论，而忘记改变量词；也不能只改变量词，而忘记对结论否定.

一、基础达标

1.关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　)

A.p的否定为：∃x∈R，x2＋1≠0

B.p的否定为：∀x∈R，x2＋1＝0

C.p是真命题，p的否定是假命题

D.p是假命题，p的否定是真命题

答案　C

解析　命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”.p是真命题，p的否定是假命题.

2.设命题p：∃x∈Z，(x＋1)2－1>0，则p的否定为(　　)

A.∃x∈Z，(x＋1)2－1>0

B.∀x∈Z，(x＋1)2－1>0

C.∃x∉Z，(x＋1)2－1≤0

D.∀x∈Z，(x＋1)2－1≤0

答案　D

解析　存在量词命题的否定为全称量词命题.

3.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A，2x∈B，则p的否定为(　　)

A.∀x∈A，2x∈B      B.∀x∉A，2x∉B

C.∃x∉A，2x∈B      D.∃x∈A，2x∉B

答案　D

解析　命题p：∀x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，p的否定应为：∃x∈A，2x∉B.选D.

4.已知命题p：∀x>0，总有x＋1>1，则p的否定为(　　)

A.∃x≤0，使得x＋1≤1

B.∃x>0，使得x＋1≤1

C.∀x>0，总有x＋1≤1

D.∀x≤0，总有x＋1≤1

答案　B

解析　“∀x>0，总有x＋1>1”的否定是“∃x>0，使得x＋1≤1”.故选B.

5.(多选)下列命题p的否定正确的是(　　)

A.p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数

B.p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形

C.p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形

D.p：∃n∈N，2n≤100；p的否定：∀n∈N，2n>100.

答案　ABD

解析　“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.A，B，D正确.

6.命题“∃x∈(0，＋∞)，x2＝x－1”的否定是________.

答案　∀x∈(0，＋∞)，x2≠x－1

7.命题“每个函数都有最大值”的否定是______________.

答案　有些函数没有最大值

解析　命题的量词是“每个”，即为全称量词，因此其否定是存在量词，故应填：有些函数没有最大值.

8.已知命题p：∀x∈R，x2＋2x＋a>0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________.

答案　{a|a≤1}

解析　若命题p为假命题，则命题p的否定：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0为真命题，故Δ＝4－4a≥0，∴a≤1，∴当p为假命题时，a的取值范围是{a|a≤1}.

9.写出下列命题的否定，并判断其真假.

(1)q：有理数都能写成分数的形式；

(2)s：有些实数的绝对值是正数.

解　(1)q是全称量词命题，省略了全称量词“任意一个”，即“任意一个有理数都能写成分数的形式”，q的否定为：存在一个有理数不能写成分数的形式，是假命题.

(2)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此，s的否定为：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题.

10.写出下列命题的否定，并判断其真假.

(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；

(2)q：所有的正方形都是矩形；

(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0.

解　(1)p的否定为：∃x∈R，x2－x＋＜0.

∵∀x∈R，x2－x＋＝≥0，

∴p的否定是假命题.

(2)q的否定为：有的正方形不是矩形，假命题.

(3)r的否定为：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0.

∵∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0，∴r的否定是真命题.

二、能力提升

11.(多选)下列命题的否定是假命题的是(　　)

A.三角形角平分线上的点到角两边的距离相等

B.所有平行四边形都不是矩形

C.任意两个等边三角形都是相似的

D.3是方程x2－9＝0的一个根

答案　ACD

解析　A的否定：存在一个三角形，它的角平分线上的点到角两边的距离不相等，假命题，

B的否定：有些平行四边形是矩形，真命题，

C的否定：有些等边三角形不相似，假命题，

D的否定：3不是方程x2－9＝0的一个根，假命题.

12.已知命题“对于任意x∈R，函数y＝x2＋ax＋1≥0”，若此命题是假命题，则实数a的取值范围为________.若此命题是真命题，则实数a的取值范围为________.

答案　{a|a<－2或a>2}　{a|－2≤a≤2}

解析　因为全称量词命题“对于任意x∈R，函数y＝x2＋ax＋1≥0”的否定为：“存在x∈R，函数y＝x2＋ax＋1<0”.

当原命题是假命题时，其否定为真命题.

由于函数y＝x2＋ax＋1的图象是开口向上的抛物线，借助二次函数图象易知：Δ＝a2－4>0，解得a<－2或a>2.

当原命题是真命题时，知Δ≤0，

则a2－4≤0，得－2≤a≤2.

13.已知命题p：∃x∈R，x2－2x＋m＝0，若p的否定是假命题，求实数m的取值范围.

解　因为p的否定为假命题，所以p为真命题，即∃x∈R，x2－2x＋m＝0成立，即方程x2－2x＋m＝0有实根，有Δ＝(－2)2－4m≥0，所以m≤1.

故实数m的取值范围为{m|m≤1}.

三、创新拓展

14.已知函数y1＝x2－2x，y2＝ax＋2(a＞0).若∀－1≤x1≤2，∃－1≤x2≤2，使得x－2x1＝ax2＋2，则实数a的取值范围是________.

答案　[3，＋∞)

解析　由二次函数的性质可得函数y1＝x2－2x，－1≤x1≤2的取值范围为{y1|－1≤y1≤3}.由一次函数的性质可知函数y2＝ax＋2(a＞0)，－1≤x≤2的取值范围是{y2|2－a≤y2≤2＋2a}.因为∀－1≤x1≤2，∃－1≤x2≤2，使得x－2x1＝ax2＋2，即{y1|－1≤y1≤3}⊆{y2|2－a≤y2≤2＋2a}，所以解得a≥3.