高中数学苏教版 (2019)必修 第一册5.2 函数的表示方法集体备课ppt课件

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第5章 函数概念与性质
5.2　函数的表示方法
课标要求
1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.4.会求函数的解析式.
素养要求
1.结合实例，经历函数三种表示法的抽象过程，体会三种表示法的作用，发展学生的数学抽象素养.2.结合实例，加深对分段函数概念的理解及应用，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
内容索引
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、函数的三种表示方法1.思考　(1)一次函数如何表示？提示　y＝kx＋b(k≠0).(2)在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字.设找的人序号为x，x＝1，2，3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？提示　对于任意一个x的值，都有一个他写的数字y与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示.这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系.
2.填空　函数三种表示方法
列表
等式
图象
3.做一做　(1)已知函数f(x)由下表给出，则f(11)＝(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5解析　由表可知f(11)＝4.
C
A
(2)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是(　　)A.f(x)＝x2＋6xB.f(x)＝x2＋8x＋7C.f(x)＝x2＋2x－3D.f(x)＝x2＋6x－10解析　法一　设t＝x－1，则x＝t＋1.∵f(x－1)＝x2＋4x－5，∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.法二　∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，∴f(x)＝x2＋6x，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.故选A.
二、分段函数1.思考　某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：①5千米以内，票价2元；②5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算).已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括始发站和终点站)有11个公共汽车站.(1)从始发站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗？提示　有函数关系.
(2)函数的表达式是什么？
(3)x与y之间有何特点？提示　x在不同区间内取值时，与y对应的关系不同.
2.填空　在定义域内__________上，有不同的解析表达式.像这样的函数，通常叫作分段函数.温馨提醒　(1)分段函数定义域、值域的求法①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；②分段函数的值域是各段函数值域的并集.(2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决.
不同部分
3.做一做　思考辨析，判断正误(1)分段函数是两个或多个函数.(　　)提示　分段函数由几个部分组成，但它表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域是其中一个部分的定义域.(　　)提示　分段函数的定义域是各个部分的定义域的并集.(3)分段函数的值域是各个部分的值域的交集.(　　)提示　分段函数的值域是各个部分的值域的并集.
×
×
×
×
×
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
题型一　三种表示方法的应用
例1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来. 解　(1)列表法：
(2)图象法：
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}.
理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念.(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数.(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.
训练1 将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试用多种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N*)的函数关系. 解　这个函数的定义域为{x|1≤x<10，x∈N*}.
②列表法：
③图象法：
题型二　函数图象问题
列表如下：
当0(2)当x＋1≥0，即x≥－1时，
y＝x＋1；当x＋1<0，即x<－1时，y＝－x－1.
该分段函数的图象如图所示，可得函数的值域是[0，＋∞).
画函数图象时要注意：(1)分段函数的图象应该分段画；(2)在画图象的某一段时，应先画出该段解析式对应的整个图象，再在上面截取所需要的图象；(3)画出函数图象后，可直接求得函数的值域，故图象法是求函数值域的重要方法之一；(4)一般地，函数y＝|x－a|的图象关于直线x＝a对称.
训练2 已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|. (1)作出函数y＝f(x)的图象； (2)讨论方程f(x)＝a的解的情况. 解　(1)先作出y＝x2－4x＋3的图象，然后将其在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，原x轴上方的图象及其翻折上来的图象便是所要求作的图象.
(2)由图象易知，当a<0时，原方程无解；当a＝0或a>1时，原方程有两个解；当0题型三　求函数解析式
解　(1)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴f(x)＝2x－1.
所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
角度2　用待定系数法求函数解析式例4 (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)；解　设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，
解　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x).
∴f(x)＝x2－2x－1.
角度3　消元法(或解方程组法)求函数解析式例5 定义在区间(－1，1)上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝x2，求f(x)的解析式.解　∵对任意的x∈(－1，1)有－x∈(－1，1)，∴由2f(x)－f(－x)＝x2，①得2f(－x)－f(x)＝(－x)2，②①×2＋②消去f(－x)得3f(x)＝3x2，∴f(x)＝x2(－11.已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的有两种方法：(1)换元法，即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围.(2)配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.2.解方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.3.待定系数法求函数解析式：已知所要求的f(x)的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.
训练3 (1)已知函数f(x＋1)＝3x＋2，求f(x)；
解　法一(换元法)　令x＋1＝t，∴x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，∴f(x)＝3x－1.法二(配凑法)　f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1，∴f(x)＝3x－1.
题型四　分段函数求值
迁移1 例6条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值.
迁移2 例6的条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围.解　当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2；当－22x可化为3x＋5>2x，即x>－5，所以－22x可化为2x－1>2x，则x∈∅.综上可得，x的取值范围是{x|x<2}.
1.求分段函数函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间.(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.
A
解析　f(5)＝f(f(10))，f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21，∴f(5)＝f(21)＝24.故选A.
C
解析　当a≤－2时，a<－3，∴a<－3；当－2课堂小结
1.掌握函数的3种表示方法列表法、图象法、解析式法.2.掌握求函数解析式的3种常用方法换元法、待定系数法及消元法(或解方程组法).3.注意1个易错点分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
A
解析　当x>1时，f(x)＝x2＋x－2，则f(2)＝22＋2－2＝4，
2.已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为(　　)A.f(x)＝x2＋2x＋1B.f(x)＝x2－2x＋1C.f(x)＝x2＋2x－1D.f(x)＝x2－2x－1解析　令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，∴f(x)＝x2＋2x＋1.
A
C
解析　当0≤x≤1时，f(x)∈[0，2]，当1D
5.函数f(x)＝x2－2|x|的图象是(　　)
C
7.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________.
2
解析　由表中对应值，知f(g(1))＝f(3)＝1.当x＝1时，f(g(1))＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，不满足条件；当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，满足条件；当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，不满足条件；所以满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是2.
(－∞，1]
画出函数f(x)的图象得值域是(－∞，1].
(2)函数f(x)的图象如图所示.
(3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3).
解　(1)设x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6，
∴f(t)＝(t－1)2－2(t－1)－1＝t2－4t＋2，∴f(x)＝x2－4x＋2(x≥1).
ACD
二、能力提升
解析　作出函数f(x)的图象如图：
A.将f(x)的图象向右平移一个单位长度即可得到f(x－1)的图象，则A正确；B.∵f(x)≥0，∴|f(x)|＝f(x)，图象不变，则B错误；C.y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，则C正确；D.f(|x|)的图象是把函数f(x)的图象保留y轴右边的，左边的去掉，再把右边的作关于y轴的对称，则D正确.
－1
0或2
解析　由－1≤1，得f(－1)＝(－1)2－1＝0；由0≤1，得f(0)＝－1，所以f(f(－1))＝f(0)＝－1.因为f(x)＝－1，
解得x＝0或x＝2，满足题意.
解　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
(2)当点F在GH上，即x∈(2，5]时，y＝2＋2(x－2)＝2x－2；(3)当点F在HC上，即x∈(5，7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF
图象如图所示.
14.如图，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为4的正方形运动一周，记O，P两点连线的长度y与点P走过的路程x之间的关系为函数f(x).
三、创新拓展
(1)通过求函数y＝f(x)的解析式判断其大致图象是(　　)
解析　由题意得，正方形的边长为1，结合题图可知，当0≤x≤1时，f(x)＝x，为正比例函数；
C