午练14　函数的单调性　　　　　　　　　　　　　　

1.已知函数f(x)是R上的增函数，对任意实数a，b，若a＋b＞0，则有(　　)

A.f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)

B.f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)

C.f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b)

D.f(a)－f(b)＜f(－a)－f(－b)

答案　A

解析　∵a＋b＞0，∴a＞－b，b＞－a，又f(x)是R上的增函数，∴f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，∴f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b).故选A.

2.已知函数f(x)＝若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B.(－1，2)

C.(－2，1)

D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)

答案　D

解析　作出函数f(x)的图象(图略)，易知函数f(x)在R上为减函数，所以2－a2＜a，解得a＞1或a＜－2，故选D.

3.设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，2]   B.(－∞，2)

C.(2，＋∞)   D.[2，＋∞)

答案　A

解析　由题意当x＞0时，f(x)的最小值为f(1)＝2；当x≤0时，f(x)的最小值为f(0)＝a，若f(0)是f(x)的最小值，则a≤2.故选A.

4.若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数b的取值范围为(　　)

A.   B.[1，2]

C.   D.

答案　B

解析　要使此分段函数在R上为增函数，必须使函数g(x)＝(2b－1)x＋b－1在(0，＋∞)上为增函数，函数h(x)＝－x2＋(2－b)x在(－∞，0]上为增函数，且满足h(0)≤g(0)，则∴1≤b≤2.

即实数b的取值范围为[1，2].

5.(多选)下列函数中，在(－∞，0)上为增函数的是(　　)

A.y＝|x|＋1   B.y＝

C.y＝－   D.y＝x＋

答案　CD

解析　在A中，当x＜0时，y＝－x＋1在(－∞，0)上为减函数；在B中，当x＜0时，y＝＝－1在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函数；在C中，当x＜0时，y＝－＝x在(－∞，0)上是增函数；在D中，当x＜0时，y＝x＋＝x－1在(－∞，0)上是增函数，故选CD.

6.已知函数f(x)＝ax2－2x－4在(－∞，1)上单调递减，则实数a的取值范围是________.

答案　[0，1]

解析　当a＝0时，函数f(x)＝－2x－4在(－∞，1)上是减函数，满足题意；当a≠0时，由函数f(x)＝ax2－2x－4在(－∞，1)上单调递减，得所以0＜a≤1.综上，得a∈[0，1].

7.已知定义在[1，4]上的函数f(x)是减函数，则满足不等式f(1－2a)－f(3－a)＞0的实数a的取值范围是________.

答案　[－1，0]

解析　由题意，可得f(1－2a)＞f(3－a)，

∵f(x)在定义域[1，4]上单调递减，

∴解得－1≤a≤0.

∴实数a的取值范围为[－1，0].

8.已知定义在R上的函数f(x)＝x2＋2ax＋3在(－∞，1]上单调递减，当x∈[a＋1，1]时，f(x)的最大值与最小值之差为g(a)，则g(a)的最小值为________.

答案　1

解析　∵f(x)在(－∞，1]上单调递减，

∴－a≥1，即a≤－1，∴f(x)在[a＋1，1]上的最大值为f(a＋1)＝3a2＋4a＋4，最小值为f(1)＝2a＋4，

∴g(a)＝3a2＋2a＝3－，

∴g(a)在(－∞，－1]上单调递减，

∴g(a)的最小值为g(－1)＝1.

9.已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________，f(x)的最小值是________.

答案　－　2－6

解析　因为f(－2)＝4，f(4)＝－，

所以f(f(－2))＝－；

当x≤1时，f(x)min＝0；

当x＞1时，f(x)min＝2－6，

又2－6＜0，所以f(x)min＝2－6.

10.已知函数f＝x2－x－2.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)对任意的x∈，f(x)≥x＋ax－恒成立，求实数a的取值范围.

解　(1)令t＝x－1，则x＝2t＋2，

∴f(t)＝(2t＋2)2－(2t＋2)－2

＝4t2＋7t＋1，

∴f(x)＝4x2＋7x＋1(x∈R).

(2)由f(x)≥x＋ax－，

得(4x2＋7x＋1)≥x＋ax－，

即ax≤2x2＋3x＋2.

∵x∈，∴a≤2＋3.

令g(x)＝2＋3，x∈，

则a≤g(x)min，

又x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，

∴g(x)min＝g(1)＝7，∴a≤7，

故实数a的取值范围是(－∞，7].