午练15　函数的奇偶性

1.已知f(x)＝x5－ax3－bx＋8(a，b是常数)，且f(3)＝－5，则f(－3)＝(　　)

A.21   B.－21 

C.26   D.26

答案　A

解析　设g(x)＝x5－ax3－bx，则g(x)为奇函数.由题设可得f(3)＝g(3)＋8＝－5，得g(3)＝－13.又g(x)为奇函数，所以g(－3)＝－g(3)＝13，于是f(－3)＝g(－3)＋8＝13＋8＝21，故选A.

2.(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的有(　　)

A.f(x)g(x)是偶函数

B.|f(x)|＋g(x)是偶函数

C.f(x)|g(x)|是奇函数

D.|f(x)g(x)|是奇函数

答案　BC

解析　∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|是偶函数，|g(x)|是偶函数.根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，所以|f(x)g(x)|为偶函数，故选项A，D错误，选项C正确；由两个偶函数的和还是偶函数得选项B正确.故选BC.

3.若奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则不等式＞0的解集为(　　)

A.(－3，0)∪(3，＋∞)

B.(－3，0)∪(0，3)

C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)

D.(－∞，－3)∪(0，3)

答案　A

解析　∵f(x)为奇函数，f(3)＝0，∴f(－3)＝0，＝f(x).∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增.当x＞0时，由f(x)＞0，得f(x)＞f(3)，∴x＞3；当x＜0时，由f(x)＞0，得f(x)＞f(－3)，∴－3＜x＜0.∴原不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞)，故选A.

4.已知函数y＝f(x)与y＝g(x)有相同的定义域，且对定义域中的任意x，有f(－x)＋f(x)＝0，g(x)·g(－x)＝1，g(x)≠1，则函数F(x)＝＋f(x)(　　)

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数也不是偶函数

答案　B

解析　由题意，可知F(x)

＝

＝，

所以F(－x)＝

＝

＝

＝.所以F(－x)＝F(x)，所以函数F(x)为偶函数，故选B.

5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上单调递增，则(　　)

A.f(－1)＜f(3)＜f(4)

B.f(4)＜f(3)＜f(－1)

C.f(3)＜f(4)＜f(－1)

D.f(－1)＜f(4)＜f(3)

答案　D

解析　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.又f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，则f(－4)＝－f(0)＝0.所以f(4)＝－f(－4)＝0.又f(x)＝－f(－x)且f(x－4)＝－f(x)，所以f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1).又f(x)在区间[0，2]上单调递增，所以f(1)＞f(0)，即f(1)＞0，所以f(－1)＝－f(1)＜0，f(3)＝f(1)＞0，所以f(－1)＜f(4)＜f(3)，故选D.

6.若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义在[a－2，2a]上的偶函数，则a＋b＝________.

答案　

解析　∵偶函数的定义域关于原点对称，

∴a－2＝－2a，∴a＝.

易知函数f(x)＝x2＋bx＋b＋2为二次函数，结合偶函数图象特点，

得b＝0，∴a＋b＝.

7.若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式为________.

答案　f(x)＝－2x2＋4

解析　因为f(x)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函数，所以b(－x)2＋(2a＋ab)(－x)＋2a2＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2，所以－(2a＋ab)＝2a＋ab，即2a＋ab＝0，所以a＝0或b＝－2.当a＝0时，f(x)＝bx2，因为f(x)的值域为(－∞，4]，而f(x)＝bx2的值域不可能为(－∞，4]，所以a≠0.当b＝－2时，f(x)＝－2x2＋2a2，值域为(－∞，2a2]，所以2a2＝4.所以所求函数f(x)的解析式为f(x)＝－2x2＋4.

8.设定义在[－3，3]上的偶函数f(x)在区间[0，3]上单调递增，若f(1－m)＜f(m)，则实数m的取值范围为________.

答案　

解析　由题意⇒∴＜m≤3，

故m的取值范围为.

9.已知函数f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f(ab)＝af(b)＋bf(a)，则f(x)是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”).

答案　奇

解析　由题意，得f(－x)＝f((－1)·x)＝－f(x)＋xf(－1).令a＝b＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.令a＝b＝－1，得f(1)＝－f(－1)－f(－1)，所以f(1)＝－2f(－1)，所以f(－1)＝0.所以f(－x)＝－f(x)＋0＝－f(x)，即f(x)为奇函数.

10.判断下列函数的奇偶性.

(1)f(x)＝x3－；

(2)f(x)＝(x＋1)；

(3)f(x)＝＋；

(4)f(x)＝

解　(1)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，

又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.

(2)由≥0得－1<x≤1，

所以f(x)的定义域为(－1，1]，不关于原点对称，

所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

(3)由得x＝±，

所以f(x)的定义域为{－，}，

所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数又是偶函数.

(4)因为函数f(x)的定义域为R，所以函数f(x)的定义域关于原点对称.

①当x＝0时，－x＝0，

所以f(－x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(0)＝0，

所以f(－x)＝－f(x)；

②当x＞0时，－x＜0，

所以f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3

＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)；

③当x＜0时，－x＞0，

所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3

＝－(－x2－2x－3)＝－f(x).

综上，可知函数f(x)为奇函数.