高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数6.3 对数函数说课ppt课件

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第6章 幂函数、指数函数和对数函数
第二课时　对数函数(二)
课标要求
1.进一步理解对数函数的图象和性质.2.能运用对数函数的图象和性质解决相关问题.
素养要求
结合对数函数的图象理解反函数的概念，掌握对数型函数的有关性质，提升学生的直观想象素养、数学抽象素养及数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
内容索引
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、反函数1.思考　(1)已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？ 提示　由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)，都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y，此处y∈(0，＋∞).
(2)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)它们的定义域与值域有什么关系？提示　它们的定义域与值域正好互换.
2.填空　(1)当a>0，a≠1时，y＝logax称为__________的反函数.反之，y＝ax也称为______________的反函数.一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么反函数记作_____________. (2)互为反函数的两个函数，图象关于直线________对称.
y＝ax
y＝logax
y＝f－1(x)
y＝x
温馨提醒　应用反函数的性质时涉及的知识点①互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；②函数y＝f(x)的图象过点(a，b)是y＝f(x)的反函数的图象过点(b，a)的充要条件；③互为反函数的两函数的单调性相同；④反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域.
3.做一做　(1)函数y＝ln x＋1(x>0)的反函数为(　　)A.y＝ex＋1(x∈R) B.y＝ex－1(x∈R)C.y＝ex＋1(x>1) D.y＝ex－1(x>1)解析　由y＝ln x＋1，得x＝ey－1.又因为函数y＝ln x＋1的值域为R，于是y＝ln x＋1的反函数为y＝ex－1(x∈R).
B
A
(2)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
解析　由题意知f(x)＝logax(a>0，a≠1).因为f(2)＝1，所以loga2＝1.所以a＝2.所以f(x)＝log2x.
二、对数函数的图象和性质的再研究
1.思考　(1)对于对数函数y＝logax(a>0，a≠1)，为什么一定过点(1，0)? 提示　当x＝1时，loga1＝0(a>0，a≠1)恒成立，即对数函数的图象一定过点(1，0). (2)对数函数的图象都在y 轴的右侧吗？ 提示　是的.
2.填空　对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐______.
增大
温馨提醒　在对数函数y＝logax(a>0，a≠1)中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质，培养逻辑推理和直观想象的核心素养.
3.做一做　思考辨析，判断正误(1)若f(x)是对数函数，则f(1)＝0.(　　)(2)函数y＝log2x在R上是增函数.(　　)提示　函数y＝log2x的定义域是(0，＋∞)，所以函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，所以错误.
√
×
×
(4)若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域是[0，1]，则函数f(x)的值域也是[0，1].(　　)
√
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
题型一　对数函数的图象及应用
例1 (1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
C
(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象.
解　∵f(x)＝loga|x|，∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5，∴f(x)＝log5|x|，∴f(x)是偶函数，其图象如图所示.
迁移1 将本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝logax”改为“y＝loga(－x)”，则函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)
C
解析　∵在y＝loga(－x)中，－x>0，∴x<0，∴图象只能在y轴的左侧，故排除A，D；当a>1时，y＝loga(－x)是减函数，
迁移2 将本例(2)中的函数改为f(x)＝loga|x＋1|，且满足f(－5)＝1，求解析式并画其图象. 解　由f(－5)＝loga|－5＋1|＝1得a＝4， 即f(x)＝log4|x＋1|. 其图象画法：①先作y＝log4x的图象，②将y＝log4x的图象向左平移1个单位长度得y＝log4(x＋1)的图象，③再将y＝log4(x＋1)的图象关于x＝－1对称，即得f(x)＝log4|x＋1|的图象，如图所示.
有关对数函数图象间的变换规律(1)一般地，函数y＝f(x＋a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度，再沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称.
训练1 作出下列函数的大致图象： (1)y＝|log2x|；(2)y＝|log2(x－1)|； (3)y＝|log2(1－x)|. 解　(1)第一步：作函数y＝log2x的图象； 第二步：把函数y＝log2x的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折(位于x轴和x轴上方的不变)，即得y＝|log2x|的图象(如图①). (2)第一步和第二步同(1)； 第三步：把y＝|log2x|的图象向右平移1个单位长度即得y＝|log2(x－1)|的图象(如图②).
(3)第一步：作函数y＝log2x的图象； 第二步：把函数y＝log2x的图象沿y轴翻折，得y＝log2(－x)的图象； 第三步：把y＝log2(－x)的图象向右平移1个单位长度，得函数y＝log2(1－x)的图象； 第四步：把y＝log2(1－x)的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折(x轴上及x轴上方的不变)，即得y＝|log2(1－x)|的图象(如图③).
题型二　对数型函数的单调性
角度1　解对数不等式
解得0即0因此函数的定义域为(－1，1).令t＝1－x2，x∈(－1，1).
角度3　由单调性求参数例4 (1)若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(1，3) C.(1，3] D.[3，＋∞)
B
解析　函数由y＝logau，u＝6－ax复合而成，因为a>0，所以u＝6－ax是减函数，那么函数y＝logau就是增函数，所以a>1.因为[0，2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>0，解得a<3，所以1(－8，－6]
所以－81.对数不等式的三种类型及解法(1)形如logax>logab的不等式，借助函数y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0b的不等式，应将b化为以a为底数的对数的形式，再借助函数y＝logax的单调性求解.(3)形如logax>logbx的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.2.若a>1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0A
题型三　对数型函数性质的综合问题
角度1　值域问题例5 求下列函数的值域.(1)y＝log2(x2－4x＋6)；(2)y＝log2(x2－4x－5).解　(1)令u＝x2－4x＋6.∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，又f(x)＝log2u在(0，＋∞)上是增函数，∴log2(x2－4x＋6)≥log22＝1，∴函数的值域是[1，＋∞).(2)∵x2－4x－5＝(x－2)2－9≥－9，∴x2－4x－5能取到所有正实数，∴函数y＝log2(x2－4x－5)的值域是R.
所以函数的定义域为R且关于原点对称.
解　要使此函数有意义，
解得x>1或x<－1，故此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间.
故当a＞1时，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，无单调递增区间；当0＜a＜1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，无单调递减区间.
(1)对于y＝logaf(x)型函数，在函数定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域.(2)含对数式的函数奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单.
训练3 已知f(x)＝log4(4x－1). (1)求f(x)的定义域；
解　由4x－1>0，解得x>0，因此f(x)的定义域为(0，＋∞).
(2)讨论f(x)的单调性；
解　设任意0课堂小结
1.掌握2种方法(1)解对数不等式，其依据是对数函数的单调性，若底数是字母且范围不明确，一般要分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论.(2)解决与对数函数相关问题时，要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合，分类讨论.2.注意1个易错点求对数型复合函数的单调性易忽视定义域.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
C
解析　因为3x>0，所以－3x<0，所以1－3x<1.
D
3.函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上(　　)A.是增函数 B.是减函数C.先增后减 D.先减后增
A
4.已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f(3)·g(3)<0，则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是(　　)
C
解析　由f(3)·g(3)＝a3·loga3<0，∴loga3<0，即05.(多选)设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则下列说法正确的是(　　) A.f(a＋1)>f(b＋2) B.f(a＋1)0
AC
[1，2]
7.函数f(x)＝log2(3＋2x－x2)的值域为______________.
(－∞，2]
1
9.已知函数y＝f(x)的图象与g(x)＝logax(a>0，a≠1)的图象关于x轴对称，且g(x)的图象过点(9，2). (1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范围.
解　∵f(3x－1)>f(－x＋5)，
10.求函数f(x)＝log2(x2＋2x＋2)＋2的定义域、值域与单调区间. 解　因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0恒成立，所以函数y＝log2(x2＋2x＋2)＋2的定义域为R. 令t＝x2＋2x＋2，所以函数t＝x2＋2x＋2的单调递增区间为(－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1). 故函数y＝log2(x2＋2x＋2)＋2的单调递增区间为(－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1). 由以上的单调性可知，当x＝－1时，ymin＝2. 所以函数y＝log2(x2＋2x＋2)＋2的值域为[2，＋∞).
(0，1]
二、能力提升
解析　函数f(x)的图象如图所示，
要使直线y＝a与f(x)的图象有两个不同交点，则012.已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则实数k的取值范围是 ______________________；若定义域为R，则实数k的取值范围是 ___________.
(－∞，0]∪[1，＋∞)
(0，1)
解析　令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.若定义域为R，则x2－2kx＋k>0恒成立，∴Δ＝4k2－4k<0，即014.已知函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]. (1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
三、创新拓展
解　函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]的定义域为R，即(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0在R上恒成立.当a2－1＝0时，得a＝1或a＝－1.当a＝1时，显然2x＋1＞0在R上不能恒成立，故舍去；当a＝－1时，1＞0恒成立.当a2－1≠0，即a≠±1时，
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.
解　设u(x)＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1.∵f(x)的值域为R，∴u(x)＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1的函数值要取遍所有的正数，即(0，＋∞)是u(x)值域的子集.当a2－1＝0时，得a＝1或a＝－1.当a＝1时，符合题意；当a＝－1时，不符合题意.当a≠±1时，函数u(x)为二次函数，即函数u(x)＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1的图象与x轴有交点且开口向上，