午练17　幂函数　　　　　　　　　　　　　　

1.已知函数f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，则实数a的值为(　　)

A.2   B.－2 

C.－1   D.1

答案　C

解析　由题意a2－a－1＝1，∴a＝2或a＝－1，又a－2≠0，∴a≠2.∴a＝－1.

2.幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x，y＝x－在第一象限内的图象依次是图中的曲线(　　)

A.C1，C2，C3，C4   B.C1，C4，C3，C2

C.C3，C2，C1，C4   D.C1，C4，C2，C3

答案　D

解析　由于在第一象限直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应指数α由大到小即“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限的图象为C1，y＝x－1在第一象限的图象为C4，y＝x在第一象限的图象为C2，y＝x－在第一象限的图象为C3.

3.对于幂函数f(x)＝x，若0＜x1＜x2，则f，的大小关系是(　　)

A.f＞

B.f＜

C.f＝

D.无法确定

答案　A

解析　幂函数f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增，大致图象如图所示.

设A(x1，0)，C(x2，0)，其中0＜x1＜x2，则AC的中点E的坐标为，AB＝f(x1)，CD＝f(x2)，EF＝f.

∵EF＞(AB＋CD)，

∴f＞，故选A.

4.给出下面四个条件：①f(m＋n)＝f(m)＋f(n)；②f(m＋n)＝f(m)·f(n)；③f(mn)＝f(m)·f(n)；④f(mn)＝f(m)＋f(n).如果m，n是幂函数y＝f(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数y＝f(x)一定满足的条件的序号为(　　)

A.①②   B.①③ 

C.③   D.④

答案　C

解析　设f(x)＝xα，则f(m＋n)＝(m＋n)α，f(m)＋f(n)＝mα＋nα，f(m)·f(n)＝ma·nα＝(mn)α，f(mn)＝(mn)α，所以f(mn)＝f(m)·f(n)一定成立，其他三个不一定成立，故选C.

5.(多选)已知幂函数f(x)＝x(m，n∈N*，m，n互质)，下列关于f(x)的结论正确的是(　　)

A.m，n是奇数时，幂函数f(x)是奇函数

B.m是偶数，n是奇数时，幂函数f(x)是偶函数

C.m是奇数，n是偶数时，幂函数f(x)是偶函数

D.0＜＜1时，幂函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数

答案　AB

解析　f(x)＝x＝，当m，n是奇数时，幂函数f(x)是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数，幂函数f(x)是偶函数，故B中的结论正确；当m是奇数，n是偶数时，幂函数f(x)在x＜0时无意义，故C中的结论错误；0＜＜1时，幂函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故D中的结论错误；故选AB.

6.若幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－x)＝f(x)，则m＝________.

答案　1

解析　因为f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－5＜0，故m＜.又m∈N，所以m＝0或1.当m＝0时，f(x)＝x－5，f(－x)≠f(x)，不符合题意；当m＝1时，f(x)＝x－2，f(－x)＝f(x)，符合题意.综上，知m＝1.

7.已知函数f(x)＝且b＝f(f(f(0))).若y＝xa－b是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则自然数a的值是________.

答案　1或3

解析　由已知，可得b＝f(f(f(0)))＝f(f(－2))＝f(1)＝5.由于y＝xa－5在(0，＋∞)上单调递减，所以a－5＜0，解得a＜5，因为a为自然数，所以a＝0，1，2，3，4.又函数y＝xa－5为偶函数，所以a＝1或3.

8.若α∈R，函数f(x)＝(x－1)α＋3的图象恒过定点P，则点P的坐标为________.

答案　(2，4)

解析　令x－1＝1，得x＝2，∴f(2)＝4，∴P(2，4).

9.已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，且f(a＋1)＜f(2)，则实数a的取值范围是________.

答案　(－∞，－3)∪(1，＋∞)

解析　因为幂函数f(x)＝xα的图象过点，所以8α＝，即23α＝2－2，解得α＝－.易知f(x)＝x－是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故由f(a＋1)＜f(2)，得|a＋1|＞2，解得a＜－3或a＞1.

10.已知幂函数f(x)的图象过点P.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)画出函数f(x)的图象，并指出其单调区间.

解　(1)设f(x)＝xα.

∵f(x)的图象过点P，

∴8α＝，即23α＝2－1，

∴3α＝－1，即α＝－，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x－(x≠0).

(2)函数f(x)的图象如下：

由图象，知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无单调递增区间.