高中数学苏教版 (2019)必修 第一册3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式习题ppt课件

培优课　利用函数图象求解函数问题

函数图象反映了函数所有的性质，在解选择题、填空题时可以直接根据函数图象迅速得出解题方案，在解答题中也可以从函数图象上获得解题思路，利用函数图象解题有如下一些基本类型.

类型一　判断函数零点(方程根)的个数

例1 已知函数f(x)＝e－x＋x2－3x＋1，则函数f(x)的零点个数为(　　)

A.3   B.2 

C.1   D.0

答案　B

解析　由e－x＋x2－3x＋1＝0，得e－x＝－x2＋3x－1，在同一平面直角坐标系内画出y＝e－x和y＝－x2＋3x－1的图象，如图所示.

由图可知y＝e－x和y＝－x2＋3x－1的图象有2个交点，故函数f(x)的零点个数为2.

类型二　已知函数零点个数求参数的取值范围

例2 已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A.[－1，0)   B.[0，＋∞)

C.[－1，＋∞)   D.[1，＋∞)

答案　C

解析　函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，

由图可知，－a≤1，解得a≥－1.

类型三　已知函数零点所在区间求参数范围

例3 若f(x)＝2x(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，＋∞)   B.(－2，＋∞)

C.(0，＋∞)   D.(－1，＋∞)

答案　D

解析　令2x(x－a)－1＝0，

∴a＝x－(x＞0).

令g(x)＝x－，则该函数在(0，＋∞)上为增函数.

令h(x)＝a，则g(x)与h(x)在(0，＋∞)上的图象有交点.

作出草图，如图，

结合图象易知a＞－1.故选D.

类型四　已知函数零点位置确定符号

例4 已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点，x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则以下结论正确的是(　　)

A.f(x1)＜0，f(x2)＜0

B.f(x1)＜0，f(x2)＞0

C.f(x1)＞0，f(x2)＜0

D.f(x1)＞0，f(x2)＞0

答案　B

解析　在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x和函数y＝的图象，如图所示，由图可知函数y＝2x和函数y＝的图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x＋只有一个零点x0，且x0＞1.因为x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，所以结合函数图象可知f(x1)＜0，f(x2)＞0.

类型五　由一元二次方程根的分布确定参数的取值范围

例5 已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，若方程有两个实数根，其中一个根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m的取值范围.

解　令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1.

依题意作出f(x)的草图如图，

则

即

∴－＜m＜－.

∴m的取值范围为.

类型六　与复合函数结合的零点问题

例6 已知函数f(x)＝则方程f2(x)－f(x)＝0的不相等实根共有(　　)

A.5个   B.6个

C.7个   D.8个

答案　C

解析　函数f(x)＝的图象如图所示.

由f2(x)－f(x)＝0可知f(x)＝1或f(x)＝0，根据图象可知，方程f(x)＝0有3个不相等的实根，方程f(x)＝1有4个不相等的实根，所以方程f2(x)－f(x)＝0的不相等实根共有7个.