培优课　破解与指数函数、对数函数有关的复合函数问题

与指数函数、对数函数有关的复合函数，主要是指数函数、对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数.

类型一　判断复合函数的单调性

例1 (1)函数f(x)＝的单调递增区间为________.

答案　(－∞，1)

解析　令t＝x2－2x－1，

∴函数t＝x2－2x－1＝(x－1)2－2在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又y＝是R上的减函数，故f(x)＝在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.

(2)讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性.

解　由3x2－2x－1＞0得函数的定义域为.

则当a＞1时，

若x＞1，则u＝3x2－2x－1单调递增，

∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)单调递增.

若x＜－，则u＝3x2－2x－1单调递减，

∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)单调递减.

当0＜a＜1时，

若x＞1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)单调递减；

若x＜－，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)单调递增.

综上，当a＞1时，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减；

当0＜a＜1时，f(x)在上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.

类型二　已知复合函数单调性求参数范围

例2 已知函数y＝log(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上单调递增，求实数a的取值范围.

解　令g(x)＝x2－ax＋a，则g(x)在上单调递减.

∵0＜＜1，∴y＝logg(x)是关于g(x)的减函数.

而已知复合函数y＝log(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上单调递增，

∴只要g(x)在(－∞，)上单调递减，

且g(x)＞0在x∈(－∞，)上恒成立，

即

∴2≤a≤2(＋1)，

故所求a的取值范围是[2，2＋2].

类型三　求复合函数的值域

例3 求下列函数的值域：

(1)y＝21－x2；

(2)y＝log(3＋2x－x2).

解　(1)∵1－x2≤1，∴21－x2≤21＝2，

∴0＜y≤2，故y＝21－x2的值域为(0，2].

(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.

∵u＞0，∴0＜u≤4.

又y＝logu在(0，4]上单调递减，

∴logu≥log4＝－2，∴y＝log(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞).

类型四　求复合函数的最值

例4 求函数y＝(logx)2－logx＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值.

解　因为2≤x≤4，所以log4≤logx≤log2，即－2≤logx≤－1.

设t＝logx，则－2≤t≤－1.

所以y＝t2－t＋5，

其图象的对称轴为直线t＝，

所以当t＝－2，即x＝4时，ymax＝10；

当t＝－1，即x＝2时，ymin＝.

类型五　与复合函数有关的不等式问题

例5 已知x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，求实数m的取值范围.

解　原不等式变形为m2－m＜，

因为函数y＝在(－∞，－1]上单调递减，所以≥＝2，

故当x∈(－∞，－1]时，m2－m＜恒成立等价于m2－m＜2成立，

解得－1＜m＜2.

故实数m的取值范围为(－1，2).

类型六　判断复合函数的奇偶性

例6 已知函数f(x)＝log2是奇函数，a∈R.

(1)求a的值；

(2)对任意的x∈(－∞，0)，不等式f(2x＋1)＞log2(m－2x)恒成立，求实数m的取值范围.

解　(1)法一　令＋1＞0，

则＞0.

∴x＜－a－1或x＞－a.

∵f(x)是奇函数，∴其定义域关于原点对称，∴－a－1－a＝0，∴a＝－.

验证a＝－时，f(x)＝log2.

则f(－x)＝log2

＝log2＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数，综上a＝－.

法二　f(x)＝log2＝log2，

则＞0⇔A＝{x|x＜－a－1或x＞－a}.

∵f(x)是奇函数，

故对∀x∈A，有f(－x)＝－f(x)，

即log2＝－log2，

即log2＝log2，

∴＝，

即(1＋a)2－x2＝a2－x2，解得a＝－.

(2)由(1)知，f(x)＝log2，

则由f(2x＋1)＞log2(m－2x)，

得log2>log2(m－2x)，

∴m＜2x＋＋＋.

令u＝2x＋，x∈(－∞，0)，

则u∈，令g(u)＝u＋＋.

易知g(u)≥，当且仅当u＝1时取等号，所以m＜，

又由m－2x＞0，得m＞2x，

故m≥1，∴m的取值范围是.

类型七　与复合函数有关的方程问题

例7 方程log3(1－2·3x)＝2x＋1的解为x＝________.

答案　－1

解析　由题意32x＋1＝1－2·3x，即3·(3x)2＋2·3x－1＝0，解得3x＝(3x＝－1舍去)，故x＝－1.

类型八　与复合函数有关的比较大小问题

例8 设0＜x＜1，a＞0，a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小.

解　作商＝|log(1＋x)(1－x)|.

∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1，1＜1＋x＜2，0＜1－x2＜1，

∴|log(1＋x)(1－x)|＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)＝log(1＋x)＞log(1＋x)(1＋x)＝1，

∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.