苏教版 (2019)必修 第一册7.4 三角函数应用图文ppt课件

第三课时　正切函数的图象与性质

课标要求　1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象与性质解决有关问题.

素养要求　通过利用正切函数的图象，发现数学规律，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理素养.

1.思考　(1)你会用描点法作y＝tan x在x∈上的草图吗？

提示　①描出三点 ，(0，0), ，两线x＝±.

②用光滑曲线连接.

(2)除了用描点法外，仿照利用正弦线作正弦曲线的作法，你还有其他方法吗？

提示　还可以利用单位圆中的正切线作正切函数y＝tan x的图象.

(3)如图为正切函数的图象，根据图象回答下面的问题.

①正切函数y＝tan x的定义域是什么？

提示　正切函数y＝tan x的定义域为 .

②诱导公式tan(π＋x)＝tan x，说明了正切函数的什么性质？

提示　周期性.

③诱导公式tan(－x)＝－tan x说明了正切函数的什么性质？

提示　奇偶性.

2.填空

温馨提醒　正切函数在其定义域内不是增函数，只能说在每个区间(k∈Z)上为增函数.

3.做一做　思考辨析，判断正误

(1)函数y＝tan x的定义域为{x|x≠＋2kπ，k∈Z}.(　　)

(2)函数y＝tan 2x的周期为π.(　　)

(3)正切函数y＝tan x无单调递减区间.(　　)

(4)函数y＝2tan x，x∈的值域是[0，＋∞).(　　)

提示　(1)×　y＝tan x的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}.

(2)×　y＝tan 2x的周期为.

(3)√　(4)√

题型一　正切函数的定义域、值域问题

例1 (1)函数y＝3tan的定义域为________；

(2)函数y＝tan2x－2tan x的值域为________.

答案　(1)

(2)[－1，3＋2]

解析　(1)由－≠＋kπ，k∈Z，

得x≠－－4kπ，k∈Z，

即函数的定义域为

.

(2)令u＝tan x，∵|x|≤，

∴由正切函数的图象知u∈[－，]，

∴原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－，].

∵二次函数y＝u2－2u＝(u－1)2－1的图象开口向上，对称轴方程为u＝1，

∴当u＝1时，ymin＝－1，

当u＝－时，ymax＝3＋2，

∴原函数的值域为[－1，3＋2].

思维升华　(1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.

(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解.

训练1 求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域.

解　由题意得

即－1≤tan x<1.

在内，满足上述不等式的x的取值范围是.

又y＝tan x的周期为π，

所以函数的定义域是(k∈Z).

题型二　求正切函数的单调区间

例2 求函数y＝tan的单调区间.

解　y＝tan＝－tan，

由－＋kπ<x－<＋kπ，k∈Z，

得－π＋4kπ<x<3π＋4kπ，k∈Z，

所以函数y＝tan的单调递减区间是(－π＋4kπ，3π＋4kπ)(k∈Z)，无递增区间.

思维升华　y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.

训练2 求函数y＝3tan的单调区间.

解　令kπ－<2x＋<kπ＋，k∈Z，

得－<x<＋，k∈Z.

∴函数y＝3tan的单调递增区间为

(k∈Z)，无递减区间.

题型三　利用正切函数的单调性比较大小

例3 比较大小：

(1)tan 32°________tan 215°；

(2)tan________tan.

答案　(1)<　(2)<

解析　(1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°，

∵当0°<x<90°时，y＝tan x单调递增，且0°＜32°<35°＜90°，

∴tan 32°<tan 35°＝tan 215°.

(2)tan＝tan＝tan，

tan＝tan＝tan，

∵y＝tan x在上单调递增，

且－＜－<－＜，

∴tan<tan，

即tan<tan.

思维升华　运用正切函数的单调性比较大小的步骤

(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.

(2)运用单调性比较大小关系.

训练3 比较下列正切值的大小：

(1)tan 1 320°与tan 70°；

(2)tan与tan.

解　(1)tan 1 320°＝tan(360°×3＋240°)

＝tan 240°＝tan 60°，

因为当0°＜x＜90°时，函数y＝tan x单调递增，且0°＜60°＜70°＜90°，

所以tan 60°<tan 70°，

即tan 1 320°<tan 70°.

(2)tan＝tan＝tan，

因为y＝tan x在上为增函数，

且－＜－＜－＜，

所以tan>tan.

即tan>tan.

题型四　正切函数图象、性质的应用

例4 设函数f(x)＝tan.

(1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心；

(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.

解　(1)∵ω＝，

∴最小正周期T＝＝＝2π.

令－＝(k∈Z)，

得x＝kπ＋(k∈Z)，

∴f(x)的对称中心是(k∈Z).

(2)令－＝0，则x＝；

令－＝，则x＝；

令－＝－，则x＝；

令－＝，则x＝；

令－＝－，则x＝－.

∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图).

思维升华　熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支曲线组成，y＝tan x的对称中心为，k∈Z.

训练4 画出f(x)＝tan|x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性.

解　f(x)＝tan|x|化为

f(x)＝

根据y＝tan x的图象，作出f(x)＝tan|x|的图象，如图所示，

由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调增区间为，(k∈N)；单调减区间为， (k＝0，－1，－2，…).

[课堂小结]

1.掌握2个知识点

(1)正切函数的图象.(2)正切函数的性质.

2.注意2个易错点

①正切函数y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}.②正切函数在(k∈Z)上递增，不能写成闭区间，也不能说正切函数在定义域上递增；正切函数无单调递减区间.

一、基础达标

1.已知x∈[0，2π]，则y＝＋的定义域为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　由题意知

∴函数的定义域为，

故选C.

2.关于函数y＝tan，下列说法正确的是(　　)

A.是奇函数

B.在区间上单调递减

C.为其图象的一个对称中心

D.最小正周期为π

答案　C

解析　易知y＝tan不是奇函数，没有单调递减区间，T＝，故A，B，D错误；

当x＝时，y＝tan＝tan 0＝0，故选C.

3.已知f(x)＝tan，则使f(x)≥成立的x的取值集合是(　　)

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

答案　A

解析　因为f(x)＝tan，

所以f(x)≥化为tan≥，

故＋kπ≤2x＋<＋kπ，k∈Z，

解得＋kπ≤x<＋kπ，k∈Z，

故使f(x)≥成立的x的取值集合是

，k∈Z.

4.函数y＝2tan的最小正周期是(　　)

A.   B. 

C.   D.π

答案　B

解析　T＝＝.

5.函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)

答案　D

解析　当<x<π时，tan x<sin x，y＝2tan x<0；

当x＝π时，y＝0；当π<x<时，tan x>sin x，y＝2sin x<0.故选D.

6.比较大小：tan________tan.

答案　<

解析　因为－<－π<－<0，且y＝tan x在上是单调递增函数，

所以tan<tan.

7.已知点M(1，3)，若函数y＝tanx(x∈(－2，2))的图象与直线y＝1交于点A，则MA＝________.

答案　2

解析　令y＝tanx＝1，

解得x＝1＋4k，k∈Z，

又x∈(－2，2)，所以x＝1，

所以函数y＝tanx与直线y＝1的交点为A(1，1)，又M(1，3)，

所以MA＝|3－1|＝2.

8.已知函数f(x)＝tan(x＋φ)的图象的一个对称中心为，则φ的值为________.

答案　或－

解析　由于是函数f(x)图象的对称中心，所以＋φ＝π，k∈Z，所以φ＝π－，k∈Z.由于|φ|<，故取k＝0，1，得φ＝－，.

9.画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.

解　由y＝|tan x|得，

y＝

其图象如图.

由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，

周期T＝π，

单调递增区间为(k∈Z)，

单调递减区间为(k∈Z).

10.已知函数f(x)＝asin，g(x)＝btan(k>0)，它们的周期之和为，且f＝g，f＝－·g＋1，求这两个函数的解析式，并求g(x)的单调递增区间.

解　根据题意，可得

解得故f(x)＝sin，

g(x)＝tan.

令kπ－<2x－<kπ＋，k∈Z，

得－<x<＋，k∈Z，

所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z).

二、能力提升

11.下列关于函数y＝tan的说法正确的是(　　)

A.在区间上单调递增

B.最小正周期是π

C.图象关于点成中心对称

D.图象关于直线x＝成轴对称

答案　B

解析　令kπ－<x＋<kπ＋，k∈Z，解得kπ－<x<kπ＋，k∈Z，显然不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋＝，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，任取k值不能得到x＝，故C错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y＝tan的图象也没有对称轴，故D错误.故选B.

12.(多选)已知函数f(x)＝tan x，对任意x1，x2∈(x1≠x2)，给出下列结论中正确的是(　　)

A.f(x1＋π)＝f(x1)

B.f(－x1)＝f(x1)

C.>0

D.f>(x1·x2>0)

答案　AC

解析　由于f(x)＝tan x的周期为π，故A正确；函数f(x)＝tan x为奇函数，故B不正确；C表明函数为增函数，而f(x)＝tan x为区间上的增函数，故C正确；由函数f(x)＝tan x的图象可知，函数在区间上有

f>，

在区间上有

f<，故D不正确.

13.已知函数f(x)＝3tan.

(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)试比较f(π)与f的大小.

解　(1)∵f(x)＝3tan

＝－3tan，

∴函数f(x)的最小正周期为T＝4π.

令kπ－<－<kπ＋，k∈Z，

得4kπ－<x<4kπ＋，k∈Z，

∴函数y＝3tan的单调递增区间为

，k∈Z，

∴函数f(x)＝－3tan的单调递减区间为，k∈Z.

(2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan，

f＝3tan＝3tan＝－3tan.

∵0<<<，且y＝tan x在上单调递增，∴tan<tan，

∴－3tan>－3tan，即f(π)>f.

三、创新拓展

14.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3)，则f(x)＝________，f(x)≥的x的取值范围为________.

答案　3tan

(k∈Z)

解析　由题意可得f(x)的周期为T＝－＝＝，所以ω＝，

得f(x)＝Atan，又它的图象过点，

所以tan＝0，

即tan＝0，

所以＋φ＝kπ，k∈Z，

得φ＝kπ－，k∈Z，

又|φ|<，所以φ＝－，

于是f(x)＝Atan，

又它的图象过点(0，－3)，

所以Atan＝－3，得A＝3.

所以f(x)＝3tan.

由3tan≥，

得tan≥.

所以kπ＋≤x－<kπ＋，k∈Z，

解之得＋≤x<＋，k∈Z.

所以满足f(x)≥的x的取值范围为(k∈Z).