进阶训练4（范围：4.1～4.2）

一、基础达标

1.化简·的结果是(　　)

A.－   B.

C.(a－1)4   D.

答案　B

解析　易得a>1，所以·＝(a－1)·(a－1)－

＝(a－1)＝.

2.若a＜，则化简＝(　　)

A.   B.－

C.   D.－

答案　C

解析　＝(1－3a)＝.

3.计算lg 2－lg －eln 2等于(　　)

A.－1   B. 

C.3   D.－5

答案　A

解析　原式＝lg 2＋lg 5－2＝lg 10－2＝1－2＝－1.

4.若3a＝2，则log38－2log36用含a的代数式可表示为(　　)

A.a－2   B.3a－(1＋a)2

C.5a－2   D.3a－a2

答案　A

解析　∵3a＝2，∴a＝log32，又log38＝log323＝3log32，2log36＝2(log32＋log33)＝2log32＋2，∴log38－2log36＝3log32－2log32－2＝log32－2＝a－2.

5.若log5(＋1)＋log2(－1)＝a，则log5(－1)＋log2(＋1)等于(　　)

A.1－a  B.  C.a－1   D.－a

答案　A

解析　∵(－1)(＋1)＝6－1＝5，(－1)(＋1)＝2－1＝1，∴－1＝＝5(＋1)－1，＋1＝(－1)－1，∴log5(－1)＋log2(＋1)＝log5[5(＋1)－1]＋log2(－1)－1＝log55＋log5(＋1)－1＋log2(－1)－1＝1－log5(＋1)－log2(－1)＝1－a.

6.已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28，a＞0且a≠1，则a4m＋n＝________.

答案　4

解析　

由①×②，得a3m＝26，∴am＝22.

将am＝22代入②，得an＝2－6.

∴a4m＋n＝(am)4·an＝28×2－6＝22＝4.

7.化简a·b·÷的结果是________.

答案　－9a

解析　

＝－9·a＋－·b＋－

＝－9·a1·b0＝－9a.

8.记A＝1×2×3×…×100，那么＋＋＋…＋＝________.

答案　1

解析　＋＋＋…＋＝logA2＋logA3＋logA4＋…＋logA100＝logA(2×3×4×…×100)＝logAA＝1.

9.已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y.

求(1)x＋y；(2)x－y；(3)x－y.

解　(1)(x＋y)2＝x＋y＋2

＝12＋2＝18.

又x＋y＞0，所以x＋y＝3.

(2)因为x＜y，所以x－y＜0.

所以x－y＝－

＝－

＝－＝－.

(3)x－y＝(＋)(－)

＝(x＋y)(x－y)

＝3×(－)＝－6.

10.已知x＞0，y＞0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，求xy的最大值.

解　由题意得lg 2x＋lg 8y＝lg(2x×23y)＝lg 2x＋3y＝lg 2(x＞0，y＞0)，所以x＋3y＝1，则xy＝x·3y≤＝，当且仅当x＝3y，即x＝，y＝时，等号成立，所以xy的最大值为.

二、能力提升

11.已知a＞0，b＞0，ab＝8，则log2a·log2(2b)的最大值为________.

答案　4

解析　log2a·log22b≤

＝＝＝＝4，

当且仅当log2a＝log2(2b)，即a＝4，b＝2时等号成立.

12.已知a，b是方程log3x3＋log273x＝－的两个根，则a＋b＝________.

答案　

解析　根据换底公式，有＋＝－，

即＋＝－.

令1＋log3x＝t，则＋＝－，

解得t＝－1或t＝－3.

所以1＋log3x＝－1或1＋log3x＝－3，解得x＝或x＝.故a＋b＝＋＝.

13.已知logax＋3logxa－logxy＝3(a＞1)，若设x＝at，试用含a，t的式子表示y.

解　由换底公式及已知，

得logax＋－＝3(a＞1)，

所以logay＝(logax)2－3logax＋3.

当x＝at时，logax＝t，所以logay＝t2－3t＋3.

所以y＝at2－3t＋3(t≠0).

三、创新拓展

14.设x，y，z为正数且2x＝3y＝5z，则(　　)

A.2x＜3y＜5z   B.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2x   D.3y＜2x＜5z

答案　D

解析　令t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z为正数，∴t＞1.

则x＝log2t＝，

同理，y＝，z＝.

∴2x－3y＝－

＝

＝＞0，

∴2x＞3y.

又∵2x－5z＝－

＝

＝＜0，

∴2x＜5z，∴3y＜2x＜5z.