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2021学年第3章 不等式3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式授课ppt课件
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这是一份2021学年第3章 不等式3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式授课ppt课件，文件包含811函数的零点pptx、811函数的零点doc等2份课件配套教学资源，其中PPT共53页， 欢迎下载使用。
1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系.2.了解零点存在定理，会判断函数零点的个数.
通过本节内容的学习，使学生体会转化思想在研究函数中的作用，提升学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、函数的零点1.思考 (1)前面我们学习了二次函数的零点，那么函数的零点又是怎么定义的？提示 函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点.(2)方程、函数、图象之间的关系又是什么？提示 ①函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实根.②函数y＝f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标.
2.填空 函数的零点(1)概念：一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为____的实数x称为函数y＝f(x)的零点.(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程根的关系：
温馨提醒 函数y＝f(x)的零点、方程f(x)＝0的根、函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标是同一个概念，是分别从数和形的角度诠释同一个数学量.
3.做一做 (1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，ac<0，则函数的零点个数是( )A.1个 B.2个C.0个 D.无法确定解析 ∵Δ＝b2－4ac，ac<0，∴Δ>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个根，故函数有两个零点.
二、零点存在定理1.思考 (1)路边有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明的行程一定渡过河？
(2)如图，若将思考(1)中河看成x轴，建立平面直角坐标系，A，B是人的起点和终点，则点A，B应该满足什么条件就能说明小明的行程一定渡过河？
提示 只要满足点A和点B分布在x轴两侧即可，即图中A处的函数值与B处的函数值符号相反，这也是我们将要学习的零点存在定理的相关知识.
2.填空 零点存在定理一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且____________，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.温馨提醒 要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)的图象在[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点.
(2)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.( )提示 例：f(x)＝x2－2x在区间(－1，3)内有零点，但f(－1)f(3)>0.
(3)若函数f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)内只有一个零点.( )提示 反例：f(x)＝x(x－1)(x－2)，区间为(－1，3)，满足条件，但f(x)在(－1，3)内有0，1，2三个零点.(4)若函数y＝f(x)在[a，b]上图象连续，且f(a)f(b)>0，则y＝f(x)在(a，b)内一定没有零点.( )提示 例如函数f(x)＝x2在[－1，1]上有零点为0.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 (1)函数f(x)＝x2－2x－3的零点为________.(2)若x＝2是f(x)＝x2－mx－3的一个零点，则实数m的值为________.
解析 (1)令x2－2x－3＝0，∴x＝3或－1，∴f(x)＝x2－2x－3的零点为3，－1.(2)由题意知f(2)＝4－2m－3＝0，
迁移 (1)函数f(x)＝x2－mx＋3在R上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为__________________________.
解析 函数f(x)＝x2－mx＋3在R上有两个不同的零点，等价于方程x2－mx＋3＝0有两个不等实根.
(2)函数f(x)＝x2－mx－3在(1，2)上有唯一的零点，则实数m的取值范围为___________.
解析 法一 f(x)＝x2－mx－3在(1，2)上有唯一的零点，
法二 ∵f(x)＝x2－mx－3的图象是开口向上的抛物线且f(0)＝－3，
探究函数零点的两种求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
训练1 (1)若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________.
解析 ∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，∴2a＋b＝0，∴b＝－2a，∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1).
(2)函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________.
解析 由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.∴函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点是1或10.
题型二 判断或证明函数零点的存在性
例2 求证：函数f(x)＝x3－3x＋2至少有一个零点.证明 法一 ∵f(x)＝x3－3x＋2＝x3－1－3(x－1)＝(x－1)2(x＋2)，∴f(x)有两个零点为－2，1.故f(x)至少有一个零点.法二 由f(x)＝x3－3x＋2，得f(0)＝2，f(－3)＝－16，又∵f(x)的图象在[－3，0]上是一条连续曲线，∴由函数零点存在定理，知f(x)在[－3，0]上至少有一个零点.故f(x)至少有一个零点.
1.若函数的零点易求，可直接求出零点，否则利用函数零点存在定理判断.2.利用函数零点存在定理时，关键在于找准区间，且只能判定在区间上零点的存在性，但需注意，不满足定理的条件，也可能存在零点，另外要判定有几个零点，需结合函数的性质或图象进行判定.
训练2 证明：函数f(x)＝2x＋x在R上有零点.
且函数f(x)在R上的图象是不间断的，所以函数f(x)在(－1，0)上有零点，从而f(x)＝2x＋x在R上有零点.
题型三 函数零点个数问题
例3 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数.解 法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，且f(x)在(0，1)上的图象是不间断的，∴f(x)在(0，1)上必定存在零点.又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数.故函数f(x)有且只有一个零点.法二 在同一平面直角坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)在x∈(－1，＋∞)上的草图.由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点.
判断函数零点个数的四种常用方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.(3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数.(4)转化成两个函数图象的交点问题.
题型四 判断函数零点所在的区间
例4 (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是( )A.(－3，－1)和(2，4) B.(－3，－1)和(－1，1)C.(－1，1)和(1，2) D.(－∞，－3)和(4，＋∞)
解析 易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不间断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)内有根.故选A.
确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
训练4 根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是( )
A.(－1，0) B.(0，1)C.(1，2) D.(2，3)
解析 令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)≈0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)≈2.72－3<0，f(2)≈7.40－4＝3.40>0.由于f(1)f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一根在(1，2)内.
1.理解2个知识点——零点的含义、零点存在定理(1)在函数零点存在定理中，要注意三点：①函数的图象是连续的；②定理不可逆；③至少存在一个零点.(2)方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.2.掌握2种方法(1)转化法：函数的零点可转化为方程的根，还可转化为函数图象与x轴的交点的横坐标.(2)数形结合思想：借助图象交点确定零点及方程根的问题.3.规避1个误区零点不是点，而是数，是图象与x轴交点的横坐标.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.下列函数没有零点的是( )
解析 函数f(x)＝2，没有满足方程f(x)＝0的x，因此没有零点.
2.已知函数f(x)的图象是连续不间断的，有如下的x，f(x)对应值表
解析 ∵f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，f(6)f(7)<0，∴函数f(x)一定存在零点的区间有4个，故选D.
解析 显然f(x)在(1，2)上为增函数.由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0
解析 ∵函数y＝2x和y＝lg2x在(0，＋∞)上均为增函数，
又∵a是函数f(x)＝2x＋lg2x的零点，∴f(a)＝0，∴当x0>a时，f(x0)>0，故选C.
6.若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是_________________.
解析 函数f(x)＝x2－ax－b的零点是2和3，由函数的零点与方程的根的关系，知方程x2－ax－b＝0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6.所以g(x)＝－6x2－5x－1.
7.若x0是方程ex＋x＝2的解，则x0在区间________内(填序号).①(－2，－1)；②(－1，0)；③(0，1)；④(1，2).
解析 构造函数f(x)＝ex＋x－2，由f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，显然函数f(x)是增函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0，1)上，所以ex＋x＝2的解在区间(0，1)上.
8.已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1，若0为f(x)的一个零点，则实数m＝________；若f(x)＝0有两个根，且一根大于2，一根小于2，则实数m的取值范围为______________.
解析 由f(0)＝0得m＝1；由题意可知f(2)>0，即m<－7.
∴3α＝3，∴α＝1.
(2)求函数f(x)的零点.
10.已知函数f(x)＝lgax＋ax(1≤x≤2)的最大值与最小值之和为a2＋a＋1(a>1). (1)求a的值；
解 易知函数f(x)＝lgax＋ax在x∈[1，2]上单调递增.∵函数f(x)＝lgax＋ax(1≤x≤2)的最大值与最小值之和为a2＋a＋1，∴f(1)＋f(2)＝0＋a＋lga2＋a2＝a2＋a＋1，解得a＝2.
(2)判断函数g(x)＝f(x)－3在[1，2]上的零点个数，并说明理由.
解 由(1)可得函数f(x)＝lg2x＋2x，f(x)在[1，2]内单调递增，∴g(x)＝f(x)－3在[1，2]内单调递增.∵g(1)＝f(1)－3＝2－3＝－1<0，g(2)＝f(2)－3＝lg22＋22－3＝2>0，∴函数f(x)在[1，2]内有且仅有一个零点.
11.已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝lg2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为( )A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.b>a>c解析 由h(x)＝x3＋x＝0得x＝0，∴c＝0.由f(x)＝0得2x＝－x；由g(x)＝0得lg2x＝－x.在同一平面直角坐标系中画出y＝2x，y＝lg2x，y＝－x的图象，由图象知a<0，b>0，∴b>c>a.故选B.
12.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
解析 因为y＝f(x)有两个零点，所以|2x－2|－b＝0有两个实根.即|2x－2|＝b有两个实根.令y1＝|2x－2|，y2＝b，则y1与y2的图象有两个交点.
由图可知b∈(0，2)时y1与y2有两个交点.
(2)当函数y＝f2(x)－3f(x)的零点恰有3个时，求实数m的取值范围.
解 令f2(x)－3f(x)＝0，得f(x)＝0或f(x)＝3.由题易知f(x)>0恒成立，所以f(x)＝3必须有3个实根，即|lg x|＋1＝3和2|x|＝3共有3个根.
解析 令g(x)＝f(x)－m＝0，则f(x)＝m，在同一平面直角坐标系中作出y＝f(x)与y＝m的图象，只需两函数图象有两个交点即可.由图可知当m＝－1，0，1时，两函数图象均有两个交点，故选ABC.
1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系.2.了解零点存在定理，会判断函数零点的个数.
通过本节内容的学习，使学生体会转化思想在研究函数中的作用，提升学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、函数的零点1.思考 (1)前面我们学习了二次函数的零点，那么函数的零点又是怎么定义的？提示 函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点.(2)方程、函数、图象之间的关系又是什么？提示 ①函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实根.②函数y＝f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标.
2.填空 函数的零点(1)概念：一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为____的实数x称为函数y＝f(x)的零点.(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程根的关系：
温馨提醒 函数y＝f(x)的零点、方程f(x)＝0的根、函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标是同一个概念，是分别从数和形的角度诠释同一个数学量.
3.做一做 (1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，ac<0，则函数的零点个数是( )A.1个 B.2个C.0个 D.无法确定解析 ∵Δ＝b2－4ac，ac<0，∴Δ>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个根，故函数有两个零点.
二、零点存在定理1.思考 (1)路边有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明的行程一定渡过河？
(2)如图，若将思考(1)中河看成x轴，建立平面直角坐标系，A，B是人的起点和终点，则点A，B应该满足什么条件就能说明小明的行程一定渡过河？
提示 只要满足点A和点B分布在x轴两侧即可，即图中A处的函数值与B处的函数值符号相反，这也是我们将要学习的零点存在定理的相关知识.
2.填空 零点存在定理一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且____________，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.温馨提醒 要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)的图象在[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点.
(2)若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.( )提示 例：f(x)＝x2－2x在区间(－1，3)内有零点，但f(－1)f(3)>0.
(3)若函数f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)内只有一个零点.( )提示 反例：f(x)＝x(x－1)(x－2)，区间为(－1，3)，满足条件，但f(x)在(－1，3)内有0，1，2三个零点.(4)若函数y＝f(x)在[a，b]上图象连续，且f(a)f(b)>0，则y＝f(x)在(a，b)内一定没有零点.( )提示 例如函数f(x)＝x2在[－1，1]上有零点为0.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 (1)函数f(x)＝x2－2x－3的零点为________.(2)若x＝2是f(x)＝x2－mx－3的一个零点，则实数m的值为________.
解析 (1)令x2－2x－3＝0，∴x＝3或－1，∴f(x)＝x2－2x－3的零点为3，－1.(2)由题意知f(2)＝4－2m－3＝0，
迁移 (1)函数f(x)＝x2－mx＋3在R上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为__________________________.
解析 函数f(x)＝x2－mx＋3在R上有两个不同的零点，等价于方程x2－mx＋3＝0有两个不等实根.
(2)函数f(x)＝x2－mx－3在(1，2)上有唯一的零点，则实数m的取值范围为___________.
解析 法一 f(x)＝x2－mx－3在(1，2)上有唯一的零点，
法二 ∵f(x)＝x2－mx－3的图象是开口向上的抛物线且f(0)＝－3，
探究函数零点的两种求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
训练1 (1)若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________.
解析 ∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，∴2a＋b＝0，∴b＝－2a，∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1).
(2)函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________.
解析 由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.∴函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点是1或10.
题型二 判断或证明函数零点的存在性
例2 求证：函数f(x)＝x3－3x＋2至少有一个零点.证明 法一 ∵f(x)＝x3－3x＋2＝x3－1－3(x－1)＝(x－1)2(x＋2)，∴f(x)有两个零点为－2，1.故f(x)至少有一个零点.法二 由f(x)＝x3－3x＋2，得f(0)＝2，f(－3)＝－16，又∵f(x)的图象在[－3，0]上是一条连续曲线，∴由函数零点存在定理，知f(x)在[－3，0]上至少有一个零点.故f(x)至少有一个零点.
1.若函数的零点易求，可直接求出零点，否则利用函数零点存在定理判断.2.利用函数零点存在定理时，关键在于找准区间，且只能判定在区间上零点的存在性，但需注意，不满足定理的条件，也可能存在零点，另外要判定有几个零点，需结合函数的性质或图象进行判定.
训练2 证明：函数f(x)＝2x＋x在R上有零点.
且函数f(x)在R上的图象是不间断的，所以函数f(x)在(－1，0)上有零点，从而f(x)＝2x＋x在R上有零点.
题型三 函数零点个数问题
例3 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数.解 法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，且f(x)在(0，1)上的图象是不间断的，∴f(x)在(0，1)上必定存在零点.又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数.故函数f(x)有且只有一个零点.法二 在同一平面直角坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)在x∈(－1，＋∞)上的草图.由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点.
判断函数零点个数的四种常用方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.(3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数.(4)转化成两个函数图象的交点问题.
题型四 判断函数零点所在的区间
例4 (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是( )A.(－3，－1)和(2，4) B.(－3，－1)和(－1，1)C.(－1，1)和(1，2) D.(－∞，－3)和(4，＋∞)
解析 易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不间断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)内有根.故选A.
确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
训练4 根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是( )
A.(－1，0) B.(0，1)C.(1，2) D.(2，3)
解析 令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)≈0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)≈2.72－3<0，f(2)≈7.40－4＝3.40>0.由于f(1)f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一根在(1，2)内.
1.理解2个知识点——零点的含义、零点存在定理(1)在函数零点存在定理中，要注意三点：①函数的图象是连续的；②定理不可逆；③至少存在一个零点.(2)方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.2.掌握2种方法(1)转化法：函数的零点可转化为方程的根，还可转化为函数图象与x轴的交点的横坐标.(2)数形结合思想：借助图象交点确定零点及方程根的问题.3.规避1个误区零点不是点，而是数，是图象与x轴交点的横坐标.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.下列函数没有零点的是( )
解析 函数f(x)＝2，没有满足方程f(x)＝0的x，因此没有零点.
2.已知函数f(x)的图象是连续不间断的，有如下的x，f(x)对应值表
解析 ∵f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，f(6)f(7)<0，∴函数f(x)一定存在零点的区间有4个，故选D.
解析 显然f(x)在(1，2)上为增函数.由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0
解析 ∵函数y＝2x和y＝lg2x在(0，＋∞)上均为增函数，
又∵a是函数f(x)＝2x＋lg2x的零点，∴f(a)＝0，∴当x0>a时，f(x0)>0，故选C.
6.若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是_________________.
解析 函数f(x)＝x2－ax－b的零点是2和3，由函数的零点与方程的根的关系，知方程x2－ax－b＝0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6.所以g(x)＝－6x2－5x－1.
7.若x0是方程ex＋x＝2的解，则x0在区间________内(填序号).①(－2，－1)；②(－1，0)；③(0，1)；④(1，2).
解析 构造函数f(x)＝ex＋x－2，由f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，显然函数f(x)是增函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0，1)上，所以ex＋x＝2的解在区间(0，1)上.
8.已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1，若0为f(x)的一个零点，则实数m＝________；若f(x)＝0有两个根，且一根大于2，一根小于2，则实数m的取值范围为______________.
解析 由f(0)＝0得m＝1；由题意可知f(2)>0，即m<－7.
∴3α＝3，∴α＝1.
(2)求函数f(x)的零点.
10.已知函数f(x)＝lgax＋ax(1≤x≤2)的最大值与最小值之和为a2＋a＋1(a>1). (1)求a的值；
解 易知函数f(x)＝lgax＋ax在x∈[1，2]上单调递增.∵函数f(x)＝lgax＋ax(1≤x≤2)的最大值与最小值之和为a2＋a＋1，∴f(1)＋f(2)＝0＋a＋lga2＋a2＝a2＋a＋1，解得a＝2.
(2)判断函数g(x)＝f(x)－3在[1，2]上的零点个数，并说明理由.
解 由(1)可得函数f(x)＝lg2x＋2x，f(x)在[1，2]内单调递增，∴g(x)＝f(x)－3在[1，2]内单调递增.∵g(1)＝f(1)－3＝2－3＝－1<0，g(2)＝f(2)－3＝lg22＋22－3＝2>0，∴函数f(x)在[1，2]内有且仅有一个零点.
11.已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝lg2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为( )A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.b>a>c解析 由h(x)＝x3＋x＝0得x＝0，∴c＝0.由f(x)＝0得2x＝－x；由g(x)＝0得lg2x＝－x.在同一平面直角坐标系中画出y＝2x，y＝lg2x，y＝－x的图象，由图象知a<0，b>0，∴b>c>a.故选B.
12.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
解析 因为y＝f(x)有两个零点，所以|2x－2|－b＝0有两个实根.即|2x－2|＝b有两个实根.令y1＝|2x－2|，y2＝b，则y1与y2的图象有两个交点.
由图可知b∈(0，2)时y1与y2有两个交点.
(2)当函数y＝f2(x)－3f(x)的零点恰有3个时，求实数m的取值范围.
解 令f2(x)－3f(x)＝0，得f(x)＝0或f(x)＝3.由题易知f(x)>0恒成立，所以f(x)＝3必须有3个实根，即|lg x|＋1＝3和2|x|＝3共有3个根.
解析 令g(x)＝f(x)－m＝0，则f(x)＝m，在同一平面直角坐标系中作出y＝f(x)与y＝m的图象，只需两函数图象有两个交点即可.由图可知当m＝－1，0，1时，两函数图象均有两个交点，故选ABC.
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