午练26　函数零点与函数模型　　　　　　　　　　　　　　

1.函数f(x)＝2x＋2x在下列区间内一定有零点的是(　　)

A.(－1，0)   B.(－3，－2)

C.(1，2)   D.(3，4)

答案　A

解析　函数f(x)＝2x＋2x是单调递增函数，且f(－1)＝－2＝－＜0，f(0)＝1＞0，由函数零点存在定理可知，函数在区间(－1，0)上一定存在零点且唯一.故选A.

2.若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)

A.(a，b)和(b，c)内

B.(－∞，a)和(a，b)内

C.(b，c)和(c，＋∞)内

D.(－∞，a)和(c，＋∞)

答案　A

解析　∵a<b<c，

∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，

f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，

由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.

3.函数f(x)＝3x|logx|－1的零点个数为(　　)

A.1   B.2 

C.3   D.4

答案　B

解析　由f(x)＝

3x|logx|－1＝0得

|logx|＝3－x，在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝|logx|与y＝3－x的图象，如图，

由图可知，两个函数图象的交点个数为2，即函数f(x)＝3x|logx|－1的零点个数为2，故选B.

4.方程|x2－2x|＝a2＋1(a＞0)的解的个数是(　　)

A.1   B.2 

C.3   D.4

答案　B

解析　因为a＞0，所以a2＋1＞1.

函数y＝|x2－2x|的图象与直线y＝a2＋1如图所示，

由图知，y＝|x2－2x|的图象与直线y＝a2＋1总有两个交点，即方程|x2－2x|＝a2＋1(a＞0)有两个解.故选B.

5.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是(　　)

A.若f(a)f(b)＞0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0

B.若f(a)f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0

C.若f(a)f(b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0

D.若f(a)f(b)＜0，则有可能不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0

答案　C

解析　根据函数零点存在定理可判断，若f(a)f(b)＜0，则一定存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，但c的个数不确定，故B，D错误；若f(a)f(b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)＞0，但f(x)＝x2－1在(－2，2)内有两个零点－1，1，故A错误，C正确.故选C.

6.若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2，0)内，另一个零点在区间(1，3)内，则实数a的取值范围是________.

答案　(－12，0)

解析　根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图象，如图：

由图可知

即解得－12＜a＜0.

7.已知函数f(x)＝x2－x－2a.

(1)若a＝1，则函数f(x)的零点为________；

(2)若f(x)有零点，则实数a的取值范围为________.

答案　(1)－1和2　(2)

解析　(1)当a＝1时，f(x)＝x2－x－2.令f(x)＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2，即函数f(x)的零点为－1和2.

(2)要使f(x)有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－，所以a的取值范围是.

8.在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：

则对x，y最适合的拟合函数是________(填序号).

①y＝2x，②y＝x2－1，③y＝2x－2，④y＝log2x.

答案　④

解析　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除①；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除②③；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意.

9.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，此生产线的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，则当年产量为________吨时，可以获得最大利润，最大利润是________万元.

答案　210　1 660

解析　设可获得的总利润为R(x)万元，

则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000

＝－＋88x－8 000

＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210).

∵R(x)在[0，210]上是增函数，

∴当x＝210时，

R(x)max＝－(210－220)2＋1 680

＝1 660.

10.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.

(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f(t)，图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)；

(2)若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？

解　(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为

f(t)＝

由图2可得种植成本与时间的函数关系式为

g(t)＝(t－150)2＋100，0＜t≤300.

(2)设上市时间为t时的纯收益为h(t)，

则由题意，得h(t)＝f(t)－g(t)，

即h(t)＝

当0＜t≤200时，

整理得h(t)＝－(t－50)2＋100，

当t＝50时，h(t)取到最大值100；

当200＜x≤300时，

整理得h(t)＝－(t－350)2＋100，

当t＝300时，h(t)取得最大值87.5.

综上，当t＝50时，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿的纯收益最大.