【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件章末检测卷（二）

章末检测卷（二）

 (时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)

1.设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则p的否定为(　　)

A.∀n∈N，n2＞2n       B.∃n∈N，n2≤2n

C.∀n∈N，n2≤2n       D.∃n∈N，n2＝2n

答案　C

解析　p为存在量词命题，其否定应改变量词，否定结论，为全称量词命题.

2.设a，b，c分别是△ABC的三条边长，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的(　　)

A.充分条件但不是必要条件 

B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件 

D.既不充分又不必要条件

答案　C

解析　∵a≤b≤c，∴a2＋b2＝c2⇔△ABC为直角三角形，故选C.

3.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)

A.充要条件 

B.充分条件但不是必要条件

C.必要条件但不是充分条件 

D.既不充分又不必要条件

答案　B

解析　∵a＝3⇒A⊆B，而A⊆Ba＝3，

∴“a＝3”是“A⊆B”的充分条件但不是必要条件.

4.设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)

A.充要条件

B.充分条件但不是必要条件

C.必要条件但不是充分条件

D.既不充分又不必要条件

答案　C

解析　令x＝1，y＝－2，满足x>y，但不满足x>|y|；由x>|y|得－x<y<x，∴x>y成立，故“x>y”是“x>|y|”的必要条件但不是充分条件.

5.下列命题中的假命题是(　　)

A.∀x∈R，＋1>0

B.∀x∈R，＞－x

C.∃x∈R，|x|<1

D.∃x∈R，＋1＝2

答案　B

解析　A中命题是全称量词命题，易知|x|＋1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称量词命题，当x＜0时，＝|x|＝－x，故是假命题；C中命题是存在量词命题，当x＝0时，|x|＝0＜1，故是真命题；D中命题是存在量词命题，当x＝±1时，＋1＝2，故是真命题.

6.“命题∃x∈R，使x2＋x－4a<0为假命题”是“a≤－”的(　　)

A.充分条件但不是必要条件

B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　C

解析　依题意“∀x∈R，x2＋x－4a≥0”为真命题，即二次函数y＝x2＋x－4a在R上的最小值大于或等于0，即－－4a≥0，得a≤－，故选C.

7.命题p：ax2＋2x＋1＝0有实数根，若p的否定是假命题，则实数a的取值范围为(　　)

A.{a|a<1}     B.{a|a≤1}

C.{a|a>1}     D.{a|a≥1}

答案　B

解析　因为p的否定是假命题，所以p为真命题，即方程ax2＋2x＋1＝0有实数根.

当a＝0时，方程为2x＋1＝0，x＝－，满足题意；当a≠0时，若使方程ax2＋2x＋1＝0有实数根，则Δ＝4－4a≥0，即a≤1且a≠0.综上知a≤1.

8.下列全称量词命题中真命题的个数为(　　)

①对于任意实数x，都有x＋2>x；

②对任意的实数a，b，都有若|a|>|b|，则a2>b2成立；

③二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；

④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.

A.1   B.2      C.3      D.4

答案　C

解析　①②③为真命题；当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，④为假命题.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)

9.下列命题是假命题的是(　　)

A.{∅}不是空集

B.{x∈N||x－1|<3}是无限集

C.π是有理数

D.x2－5x＝0的根是自然数

答案　BC

解析　{∅}中含有元素∅，故A中命题为真命题；x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数，D中命题为真命题；B，C均为假命题.

10.对任意实数a，b，c，下列命题中的假命题是(　　)

A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件

B.“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件

C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件

D.“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件

答案　ACD

解析　ac＞bca＞b且a＞bac＞bc，故A，C都错；a＝b⇒a－b＝0⇒(a－b)c＝0⇒ac＝bc，但ac＝bca＝b，∴ac＝bc是a＝b的必要条件，故B正确，D错误.

11.下列命题的否定中是全称量词命题且为真命题的有(　　)

A.∃x∈R，x2－x＋<0

B.所有的正方形都是矩形

C.∃x∈R，x2＋2x＋2≤0

D.至少有一个实数x，使x3＋1＝0

答案　AC

解析　命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，知原命题为假命题.又D为真命题，A，C为假命题，故选AC.

12.不等式1≤|x|≤4成立的充分条件但不是必要条件可以为(　　)

A.[－4，－1]

B.[1，4]

C.[－4，－1]∪[1，4]

D.[－4，4]

答案　AB

解析　由不等式1≤|x|≤4，解得－4≤x≤－1，或1≤x≤4.∴不等式1≤|x|≤4成立的充分条件但不是必要条件可以为A，B.故选AB.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)

13.下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________(填序号)(本题第一空2分，第二空3分).

(1)每一个矩形的对角线都互相平分；(2)有些集合无真子集；(3)能被8整除的数也能被2整除.

答案　(1)(3)　(2)

解析　(1)中含有全称量词“每一个”，(3)中陈述的是所有满足条件的数，所以(1)(3)是全称量词命题；(2)中含有存在量词“有些”，所以(2)是存在量词命题.

14.命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是__________________________.

答案　存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3

解析　由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”.

15.已知命题p：∃x∈R，x2－x－m＝0，若p的否定为真命题，则实数m的取值范围为________.

答案　

解析　因为p的否定为真命题，所以命题p：∃x∈R，x2－x－m＝0为假命题，则方程x2－x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m＜0，即m＜－.故实数m的取值范围为.

16.线段y＝－3x＋m，x∈[－1，1]在x轴下方的一个充分条件但不是必要条件是________.

答案　m∈(－∞，－4)(答案不唯一)

解析　结合一次函数图象知，要使线段在x轴下方，

只需－3×(－1)＋m<0，∴m<－3.

∴m<－4可作为一个使命题成立的充分条件但不是必要条件.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：

(1)正方形的四条边相等；

(2)至少有一个正整数是偶数；

(3)正数的平方根不等于0；

(4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形.

解　由全称量词命题的定义及存在量词命题的定义知(1)(3)(4)是全称量词命题，(2)是存在量词命题.

18.(12分)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假.

(1)∀x∈Z，|x|∈N；

(2)每一个平行四边形都是中心对称图形；

(3)∃x∈R，x＋1≤0；

(4)∃x∈R，x2＋2x＋3＝0.

解　(1)∃x∈Z，|x|∉N，假命题.

(2)有些平行四边形不是中心对称图形，假命题.

(3)∀x∈R，x＋1>0，假命题.

(4)∀x∈R，x2＋2x＋3≠0，真命题.

19.(12分)已知命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，q的否定为假命题，求实数m的取值范围.

解　由题意知命题p，q都是真命题.

由∀1≤x≤3，都有m≥x成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.

由∃1≤x≤3，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.

因为两者同时成立，

故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}.

20.(12分)证明：a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca的充要条件是△ABC为等边三角形，其中a，b，c是△ABC的三边长.

证明　充分性：如果△ABC为等边三角形，

那么a＝b＝c，

则(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，

所以a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，

即a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca.

必要性：如果a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，

那么a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0，

所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，

所以a＝b，b＝c，c＝a，即a＝b＝c.

综上知a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca的充要条件是△ABC为等边三角形.

21.(12分)若p：－2<a<0，0<b<1；q：关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的不等正根，则p是q的什么条件？

解　若a＝－1，b＝，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，

故pq.

若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x1，x2，且0<x1<x2<1，

则x1＋x2＝－a，x1x2＝b.

于是0<－a<2，0<b<1，

即－2<a<0，0<b<1，故q⇒p.

所以p是q的必要条件但不是充分条件.

22.(12分)已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}.

(1)若a＝3，求(∁RP)∩Q；

(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件，求实数a的取值范围.

解　因为集合P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即a≥0.

(1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}，

∁RP＝{x|x<4或x>7}，

又Q＝{x|－2≤x≤5}，

所以(∁RP)∩Q＝{x|－2≤x<4}.

(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件，则PQ，

即且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a≤2，

即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}.