2021-2022学年江西省山江湖协作体高二（统招班）上学期联考数学（文）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年江西省山江湖协作体高二（统招班）上学期联考数学（文）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江西省山江湖协作体高二（统招班）上学期联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】解不等式求得集合，由交集定义可得结果.【详解】，.故选：C.2．将某班的名学生编号为，，……，，采用系统抽样方法抽取一个容量为的样本，且随机抽得的一个号码为，则剩下的四个号码依次是（     ）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】B【分析】根据系统抽样方法确认样本间隔，号所在组，进而可以求出结果.【详解】由题意可知样本间隔为，第一组为至，因此为第一组的号码，则第二组抽取号码为，第三组抽取号码为，第四组抽取号码为，第五组抽取号码为，故剩下的四个号码依次是，，，，故选：B.3．某学校有高中生3500人，初中生1500人，小学生1000人，为了解该学校的中小学生的视力情况，拟从该校的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该校小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，采用分层抽样方法从该校学生中抽取容量为n的样本，已知从高中生中抽取140人，则n为（       ）A．200 B．240 C．400 D．480【答案】B【分析】利用分层抽样比即可求解.【详解】由题意可得，解得.故选：B4．向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于的概率是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中点分别为，连接，根据题意得出所求概率为梯形的面积与△ABC的面积之比，根据面积之比即可求得.【详解】取的中点分别为，连接，当点P落在梯形的内部时，△PBC的面积小于，所以△PBC的面积小于的概率为.故选：B.5．设变量，满足约束条件则目标函数的最大值是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，将化为，则数形结合可得当直线过点时，取得最大值为.故选：C.6．若，，则下列不等式中一定成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用作差法结合不等式的性质可判断A、B、C；根据已知条件可得，利用的单调性可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：，因为，所以，，即，所以，故选项A不正确；对于B：，因为，所以，，即，所以，故选项B不正确；对于C：，因为，，所以，，即，所以，故选项C不正确；对于D：因为，，所以，，且，即，又因为，在上单调递增，所以，故选项D正确；故选：D.7．某篮球运动员6场比赛得分如下表：（注：第n场比赛得分为）n1234561012891110在对上面数据分析时，一部分计算如右算法流程图（其中是这6个数据的平均数），则输出的S的值是A． B．2 C． D．【答案】C【详解】，由题意，易得：= 故选C点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8．下列判断正确的是（       ）A．若样本数据的方差为3，则的方差为11B．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为，若样本中心点为，则C．用相关指数来刻画回归的效果，的值越接近0，说明模型的拟合效果越好D．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件【答案】B【分析】根据方差的性质、线性回归方程的性质，结合相关指数的性质，互斥事件的性质进行逐一判断即可.【详解】A：因为样本数据的方差为3，所以的方差为：，因此本选项说法不正确；B：把代入中，得：，因此本选项说法正确；C：因为用相关指数来刻画回归的效果，的值越接近1，说明模型的拟合效果越好，所以本选项说法不正确；D：选出一个黑球和一个红球，即满足至少有一个黑球又满足至少有一个红球，所以至少有一个黑球与至少有一个红球是不两个互斥事件，因此本选项说法不正确，故选：B9．函数的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用和角正弦公式、辅助角公式可得，再由正弦函数的性质求最大值即可.【详解】由题设，，∴函数最大值为.故选：B10．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是(　　)A．恰有1件一等品 B．至少有一件一等品C．至多有一件一等品 D．都不是一等品【答案】C【分析】将件一等品编号为，件二等品的编号为，列举出从中任取件的所有基本事件的总数，分别计算选项的概率，即可得到答案．【详解】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P1＝，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率为P2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－＝.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中明确古典概型的基本概念，以及古典的概型及概率的计算公式，合理作出计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．11．已知等比数列的前n项和为，则的最小值为（       ）A．2 B． C．4 D．5【答案】C【分析】先根据求出的通项公式，求出，再根据是等比数列，利用等比数列的性质求出，从而求出，再用基本不等式求解的最小值.【详解】当时，，当时，从而，因为是等比数列所以公比，且，即，即所以，当且仅当，即时，等号成立所以的最小值为4故选：C12．已知为奇函数,,若对恒成立,则的取值范围为A． B． C． D．【答案】B【详解】因为为奇函数,所以,即,则,若对恒成立,则,即,即,即;故选B. 二、填空题13．抛掷骰子2次，每次结果用表示，其中，分别表示第一次､第二次骰子朝上的点数.若设，，则______.【答案】【分析】利用条件概率的公式直接求解即可【详解】因为抛掷骰子2次共有36种情况，其中和为10的有（4，6），（5，5），（6，4）三种情况，当和为10时，的有1种，所以，，所以.故答案为：14．在△ABC中，D是BC中点，AB＝2，BC＝3，AC＝4，则________．【答案】194434【分析】先由余弦定理求得，再由代入直接求出.【详解】在△ABC中，AB＝2，BC＝3，AC＝4，由余弦定理得：.因为D是BC中点，所以,所以.故答案为：15．某几何体的三视图如图所示，则该三视图的外接球表面积为___________.【答案】【分析】根据三视图画出几何体如图乙所示，则可得所以该几何体的外接球与长方体的外接球重合，从而可求出外接球的半径，进而可求得其表面积.【详解】该几何体是图甲的长方体截掉三棱锥后得到的几何体图乙，所以该几何体的外接球与长方体的外接球重合，外接球半径，所以外接球的表面积.故答案为：16．已知函数，若集合中有且只有两个元素，则实数的取值范围是______【答案】【分析】先将集合的元素个数转化为不等式的自然数解的个数，再分离参数，转化为求函数的取值范围问题，再结合函数的图象进行求解.【详解】由中有且只有两个元素，得有且只有两个自然数解，即有且只有两个自然数解，令，则，令，作出的图象（如图所示），又因为，，所以.故答案为：.三、解答题17．（1）若不等式的解集是，解不等式；（2）解关于的不等式.【答案】（1）或（2）答案见解析；【分析】（1）根据不等式的解集得到和1是对应方程的解，然后利用不等式的解法即可得到不等式的解集．（2）对讨论，分当时，当时，当时，当时，当时，运用二次不等式的解法，可得所求解集；【详解】解：（1）不等式的解集是，和1是对应方程的两个解，当时，，解得，不等式等价为，即解得或，即不等式的解集为或．（2），即，当时，解得；当，，解得或；当即时，，即；当即时，，可得；当即时，，可得，综上可得，当时，解集为；当，解集为或；当，解集；当时，解集为；当时，解集为；18．为了调查90后上班族每个月的休假天数，研究人员随机抽取了1000名90后上班族作出调查，所得数据统计如下图所示．(1)求的值以及这1000名90后上班族每个月休假天数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)以频率估计概率，若从所有90后上班族中随机抽取4人，求至少2人休假天数在6天以上（含6天）的概率；(3)为研究90后上班族休假天数与月薪的关系，从上述1000名被调查者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为休假天数与月薪有关． 月休假不超过6天月休假超过6天合计月薪超过500090  月薪不超过5000  140合计  300 【答案】(1)，平均数为(2)(3)列联表见解析；有97.5%的把握认为休假天数与月薪有关【分析】（1）由频率分布直方图的性质，可求得，结合频率分布直方图的平均数计算公式，即可解.（2）由频率分布直方图中的数据，得到休假天数6天以上的概率为，根据题意得到随机变量，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解.（3）按分层抽样可得：300人中月休假不超过6天的人数约为150人，月休假超过6天（含6天）的月为150人，月休假不超过6天的人数中，月薪不超过5000的人数，月休假超过6天（含6天）的人数中，月薪不超过5000的人数，得出的列联表，根据公式求得的值，即可得到结论.【详解】(1)解：由频率分布直方图的性质，可得，解得，由频率分布直方图的平均数计算公式，可得.(2)由频率分布直方图中的数据，可得休假天数6天以上的概率为，以频率估计概率，从所有90后上班族中随机抽取4人，则随机变量，所以至少2人休假天数在6天以上（含6天）的概率为：(3)由题意1000名中月休假不超过6天的人数为人，月休假超过6天（含6天）的人数为人，按分层抽样可得：300人中月休假不超过6天的人数约为150人，月休假超过6天（含6天）的月为150人，月休假不超过6天的人数中，月薪不超过5000的人数为人，月休假超过6天（含6天）的人数中，月薪不超过5000的人数为人，月薪超过5000的人数为人，可得如图所示的的列联表： 月休假不超过6天月休假超过6天合计月薪超过50009070160月薪不超过50006080140合计150150300 所以3.641所以有95%的把握认为休假天数与月薪有关．19．已知公差不为的等差数列的首项，且、、成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，，是数列的前项和，求使成立的最大的正整数.【答案】(1)(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于实数的等式，结合可求得的值，由此可得出数列的通项公式；（2）利用裂项求和法求出，解不等式即可得出结果.【详解】(1)解：设等差数列的公差为，则，由题意可得，即，整理得，，解得，故.(2)解：，所以，，由得，可得，所以，满足成立的最大的正整数的值为.20．在直三棱柱中，，，.(1)求异面直线与所成角正切值的大小；(2)求点与平面的距离.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得∥，则可得为异面直线与所成角，然后在中求解即可，（2）在三棱锥中利用等体积法求解即可【详解】(1)（1）因为在直三棱柱中，∥，所以为异面直线与所成角，因为，，所以，因为，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，所以，所以，所以异面直线与所成角的大小为(2)（2）连接，因为，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，因为∥，所以平面，设点与平面的距离为，因为，所以,所以，解得，所以点与平面的距离为21．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且.(1)求的最小值；(2)若的面积为，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等变换和正弦定理化简已知得到，再利用基本不等式求解；（2）由面积得到，即或，再对分类讨论利用余弦定理得解.【详解】(1)解：因为，且，根据正弦定理得，所以，所以，所以，所以.所以，当且仅当时等号成立.所以当时，取得最小值.(2)解：由（1）知，所以的面积，所以.因为，所以或当时，代入，得，与联立解得或所以，所以；当时，代入，得，不合题意.综上所述.22．某保险公司根据官方公布的历年营业收入，制成表格如下：表1年份2011201220132014201520162017201820192020年份序号x12345678910营业收入y（亿元）0.529.3633.6132352571912120716822135 由表1，得到下面的散点图：根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型（b和a是待定参数）来拟合y和x的关系.这时，可以对年份序号做变换，即令，得，由表1可得变换后的数据见表2.表2T149162536496481100Y0.529.3633.6132352571912120716822135 （1）根据表中数据，建立y关于t的回归方程（系数精确到个位数）；（2）根据（1）中得到的回归方程估计2021年的营业收入，以及营业收入首次超过4000亿元的年份.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：.【答案】（1）；（2）估计2021年的营业收入约为2518亿元，估计营业收入首次超过4000亿元的年份为2024年.【分析】（1）根据的公式，将题干中的数据代入，即得解；（2）代入，可估计2021年的营业收入；令，可求解的范围，继而得到的范围，即得解【详解】（1），，故回归方程为.（2）2021年对应的t的值为121，营业收入，所以估计2021年的营业收入约为2518亿元.依题意有，解得，故.因为，所以估计营业收入首次超过4000亿元的年份序号为14，即2024年.