2023届河南省洛阳市创新发展联盟高三摸底考试理科数学试题含解析

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河南省洛阳市创新发展联盟2022-2023学年高三摸底考试理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，则（       ）A． B．C． D．2．若，则（       ）A． B． C． D．3．已知，且，则向量夹角的余弦值为（       ）A． B． C． D．4．若圆锥的母线与底面所成的角为，底面圆的半径为，则该圆锥的体积为（       ）A． B． C． D．5．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则公差为（       ）A．1 B．2 C．3 D．46．世界人口变化情况的三幅统计图如图所示．下列四个结论中错误的是（       ）A．从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加B．1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢C．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多D．2050年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平7．已知命题，命题，则是q的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．函数的图象大致形状是（       ）A． B．C． D．9．已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在区间上的值域为（       ）A． B．C． D．10．已知函数，则不等式的解集为（       ）A． B．C． D．11．设抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，为半径的圆交l于M，N两点．若，且的面积为24，则（       ）A．2 B．4 C．6 D．812．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在展开式中，含的项的系数是_____________．14．设，满足约束条件则的最小值为___________．15．已知F为双曲线的右焦点，A为C的左顶点，B为C上的点，且垂直于x轴，若C的离心率为5，则的斜率为______________．16．在长方体中，底面是边长为4的正方形，，过点作平面与分别交于M，N两点，且与平面所成的角为，给出下列说法：①异面直线与所成角的余弦值为；②平面；③点B到平面的距离为；④截面面积的最小值为6．其中正确的是__________（请填写所有正确说法的编号）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答17．已知直线 l 的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．(1)求直线 l 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知直线 l 与曲线C相交于P，Q两点，点M的直角坐标为，求．18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．(1)求角A；(2)若，求的面积．19．随着奥密克戎的全球肆虐，防疫形势越来越严峻，防疫物资需求量急增．下表是某口罩厂今年的月份x与订单y（单位：万元）的几组对应数据：(1)求y关于x的线性回归方程，并估计该厂6月份的订单金额．(2)已知甲从该口罩厂随机购买了4箱口罩，该口罩厂质检过程中发现该批口罩的合格率为，不合格的产品需要更换，用X表示甲需要更换口罩的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望．参考数据：．参考公式：回归直线的方程是，其中20．如图，在四棱锥中，已知平面平面，，，，是等边的中线．(1)证明：平面．(2)若，求二面角的大小．21．已知椭圆：的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．(1)求椭圆的方程．(2)如图，A，B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M，N，直线AM与直线交于点P．记PA，PF，BN的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数为的导函数．(1)求不等式的解集；(2)设函数，若在上存在最大值，求实数a的取值范围．月份x12345订单y参考答案：1．C【解析】【分析】根据补集运算的概念，即可得答案.【详解】由题意得.故选：C2．A【解析】【分析】由共轭复数的概念与复数的四则运算法则求解即可【详解】因为，所以，所以，故选：A3．B【解析】【分析】根据数量积的定义直接计算可得.【详解】设向量的夹角为，因为，所以．故选：B.4．B【解析】【分析】设圆锥的高为h，利用母线与底面所成角求出高即可得解.【详解】设圆锥的高为h，因为母线与底面所成的角为，所以，解得．圆锥的体积．故选：B5．C【解析】【分析】由等差数列的性质，通项公式以及等比数列的性质求解即可【详解】因为，故，解得．又成等比数列，所以．设公差为d，所以，整理得，因为，所以．故选：C6．B【解析】【分析】根据三幅统计图依次判断每个选项即可.【详解】由折线图可以看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A正确；由扇形统计图可知2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故C正确；由条形统计图可知2050年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故D正确；三幅统计图并不能得到各个洲人口增长速度的快慢，故B错误．故选：B.7．D【解析】【分析】根据分式不等式的解法，先求得，根据充分、必要条件的概念，分析即可得答案.【详解】由，等价于，解得或，所以．因为，且，所以是q的既不充分也不必要条件．故选：D8．D【解析】【分析】根据的奇偶性和当时可选出答案.【详解】由，得，则函数是奇函数，图象关于原点中心对称，排除A，B，当时，排除C，故选：D.9．C【解析】【分析】根据最小正周期为可得，再根据三角函数图象平移的性质可得，结合三角函数图象的性质即可得值域【详解】因为的最小正周期为，所以．将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，当，，所以的值域为．故选：C10．C【解析】【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为，当时函数单调递减，且，当时函数单调递减，且，所以函数在上是单调递减，所以不等式等价于，解得．即不等式的解集为；故选：C11．C【解析】【分析】画出图形，由题意可得，，然后由结合抛物线的定义与三角形面积即可求解【详解】因为以F为圆心，为半径的圆交l于M，N两点，所以，结合抛物线的定义，可知点A到准线的距离为．又因为，，所以的面积为，解得．故选：C12．B【解析】【分析】不等式可转化为对任意恒成立，构造利用导数求出的最小值即可.【详解】由，则，因为在上为增函数，所以，即对任意恒成立，设函数，则，由可得，由可得，所以在上为减函数，在上为增函数，所以，因为对任意的恒成立，所以，所以.故选：B．13．【解析】【分析】先求得展开式的通项公式，令，即可得答案.【详解】由题意得的展开式的通项公式为，令，则的系数为．故答案为：14．【解析】【分析】根据约束条件，画出可行域，由目标函数求出最小值．【详解】画出可行域如下图：由图可知，当直线过点时，取得最小值．故答案为：．15．【解析】【分析】根据双曲线的几何性质可知，，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】设焦距为，则，因为C的离心率为5，所以，的斜率为，又因为，且，所以．故答案为：16．②④【解析】【分析】利用异面直线所成角的定义及余弦定理可判断①，利用线面平行的判定定理可判断②，利用等积法可判断③，过点A作，连接，进而可得为与平面所成的角，结合条件及基本不等式可判断④.【详解】依题意得，因为，所以异面直线与所成的角即或其补角，在中，，所以异面直线与所成角的余弦值为，故①错误．由于平面平面，所以平面，故②正确．设点B到平面的距离为h，由，得，解得，故③错误．如图，过点A作，连接，因为平面，所以，又，所以平面，平面，则，平面平面，平面平面，故为与平面所成的角，则，在中，，则有，在中，由射影定理得，由基本不等式得，当且仅当，即E为的中点时，等号成立，所以截面面积的最小值为，，故④正确．故答案为：②④.17．(1)，；(2).【解析】【分析】（1）直线的参数方程消去参数，即得的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式，即得解；（2）将直线的参数方程代入，利用直线的参数方程的几何意义，可得，结合韦达定理，即得解.(1)由（t为参数），可得l的普通方程为；由曲线C的极坐标方程及可得，整理得，所以曲线C的直角坐标方程为．(2)易知点M在直线 l 上，将 l 的参数方程代入C的直角坐标方程，得，即，设P，Q对应的参数分别为，则，因为，所以．18．(1)(2)【解析】【分析】（1）由条件和正弦定理可得，然后结合三角函数的知识可得答案；（2）由条件结合余弦定理求出的值即可.(1)由正弦定理得，因为，所以，所以，化简得，所以，因为，所以．(2)因为，由余弦定理得，又，所以，即，解得，则的面积．19．(1)，59.9万元(2)分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据已知和参考数据求出即可得出方程，代入可估计该厂6月份的订单金额；（2）可得X的取值可能为0，1，2，3，4且，求出X取不同值的概率即可得出分布列求出期望.(1)由数据可得，,所以，故y关于x的线性回归方程为．当时，，估计该厂6月份的订单金额为59.9万元．(2)依题意，随机变量X的取值可能为0，1，2，3，4，．；；；；．随机变量X的分布列为故．20．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）取的中点F，连接，进而证明四边形是平行四边形，进而证明平面；（2）取的中点O，连接，易知平面，进而以O为坐标原点，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.(1)证明：如图1，取的中点F，连接．因为E是棱的中点，所以，且．因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．(2)解：取的中点O，连接，因为为等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面,平面，所以平面．所以，以O为坐标原点，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为等边的边长为，所以，．设平面的一个法向量为由得令，则，所以．又平面的一个法向量为，因为，所以二面角的大小为．21．(1)(2)存在；【解析】【分析】(1)由题意可知，再根据离心率为可求，进而可求椭圆方程；(2) 设，，直线的方程为，与椭圆联立，由韦达定理可得，的值，联立直线与直线，求出交点的坐标，进而得到的表达式，代入已知求解即可.(1)解：设椭圆的焦距为，因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，所以．因为椭圆的离心率为，所以，解得，所以，所以椭圆的方程为．(2)设，，直线的方程为，与椭圆联立，得，因为直线MN交椭圆C于M，N两点，所以，所以，，所以．直线：与直线的交点的坐标为，则．假设存在满足条件的实数，则，所以，所以．22．(1)；(2).【解析】【分析】（1）由题可得，解之即得；（2）分，，讨论，利用导数研究函数的单调性，可得或不合题意，当时利用导数结合零点存在定理可得在上存在极大值，进而即得.(1)因为，其定义域为，所以,不等式，可化为,即，解得或．所以不等式的解集为．(2)由题可得，令，则，①当时，，在上单调递增，所以，所以在上单调递增，无最大值，不符合题意，②当时，在上单调递减，所以，所以在上单调递减，无最大值，不符合题意．③当时，由，可得，∴，在上单调递增，，在上单调递减；设，则，令，则；令，则，所以在上单调递减，在单调递增，所以，即，由此可得，当时，，即．所以当时，．取，则，且．又，所以由零点存在性定理，存在，使得，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递增，在上单调递减，在上存在最大值，符合题意．综上，实数a的取值范围为．【点睛】方法点睛：函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.X01234P