2022届黑龙江省大庆实验中学高三5月模拟考试数学（理）试题含解析

这是一份2022届黑龙江省大庆实验中学高三5月模拟考试数学（理）试题含解析
2022届黑龙江省大庆实验中学高三5月模拟考试数学（理）试题一、单选题1．集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据对数的单调性求出集合，再求交集.【详解】由可得，，所以又，，故选：A2．“”是“，”的（       ）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】由得，再根据必要条件，充分条件的定义判断即可.【详解】解：当时，，，反之，当，时，，所以“”是“，”的必要不充分条件.故选：B3．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的实数x的取值共有(       )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由程序框图可知，解出x即可.【详解】由框图可知，该循环体需循环2次输出结果，∴输出，则，解得或，故输入的实数x的取值共有3个.故选：C.4．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的渐近线方程可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】由已知可得，双曲线的渐近线方程为，则，解得.故选：D.5．已知函数的部分图像，如下图所示，则该函数的解析式可能为（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函数的奇偶性和函数值判断.【详解】解：由图像知：函数是偶函数，A. 因为，所以，又，符合题意；B. 因为，所以，又当时，，不符合题意；C. 因为，所以，又当时，，不符合题意；D. 因为，所以，是奇函数，不符合题意；故选：A6．设，则的值为（       ）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根据两角差的正弦公式和同角三角函数的基本关系化简得到，再利用两角和与差的正、余弦公式将化简为即可解题.【详解】解：∵，∴，即，∴，∵∴故选：B.7．明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”．如图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出大圆，小圆面积，进而求出阴影部分面积，利用几何概型求概率公式得到答案.【详解】设大圆面积为，小圆面积，则，．则黑色区域的面积为，所以落在黑色区域的概率为，故选：D8．已知以正方体6个表面的中心为顶点，形成一个八面体，该八面体的内切球的体积与正方体的外接球的体积比为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】考虑八面体的上面一部分为正四棱锥，在该几何体内部考虑与半球相切，求得球的半径，即可求得答案.【详解】考虑八面体的上半部分为正四棱锥 ，如图：设正方体棱长为2，则底面正四边形边长为，设M为内切球的球心，侧面正三角形边长为，故侧面上的高为，设T为八面体的内切球与面PEF的切点，则T落在PN上，连接MT,则 ,故 ,即有 ,即，又，，设正八面体内切球半径为r，故：，又正方体外接球直径为正方体的体对角线长，故外接球半径为，设八面体的内切球的体积与正方体的外接球的体积分别为 ,故：,故选：C.9．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据斐波那契数列的性质进行求解即可.【详解】由，得.故选：C.10．已知平面内定点S到定直线l的距离为2，点M是直线l上的一个动点，过点M且与l垂直的直线为，过点S且与l垂直的直线为，线段MS的垂直平分线与相交于点P，点P的轨迹与相交于点A，过点P向直线做垂线，垂足为N（不与P重合），则（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由题可得，P点轨迹为以点S为焦点，直线l为准线的抛物线，即可建立坐标系求解【详解】由题，线段MS的垂直平分线与相交于点P，故，故P点轨迹为以点S为焦点，直线l为准线的抛物线，以为x轴，A为原点建立如图所示坐标系，则易得P点轨迹为：，则，故选：D11．如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为．在的斜坐标系中，﹒则下列结论中，错误的是（       ）①；②；③；④在上的投影为A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④【答案】D【分析】借鉴单位向量夹角为 时的情况，注意夹角为；； ；数量积为；在上的投影为 .【详解】对于①. ，所以，故①正确；对于②. ，故②错误；对于③. ，故③错误；对于④. 在上的投影为 ，故④错误.故选：D12．已知函数，若存在，使，则n的最大值为（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用导数研究函数的单调性，进而作出函数图像，再结合题意，将问题转化为与直线的交点个数问题，最后数形结合求解即可.【详解】解：，得，所以，当和时，，单调递增，当时，，单调递减，因为和时，，时，，且，，所以，作出函数的图像，如图所示，当时，令，所以，若存在，使等价于存在，使 所以，只需考虑函数与直线的交点个数问题，所以，由图可知，函数与直线的交点个数最多为个，所以，n的最大值为.故选：D二、双空题13．在生活中，可以利用如下图工具绘制椭圆，按照这个原理，已知O是滑杆上的一个定点，D可以在滑杆上自由移动，线段，点B，E是AD上两点，E是AD中点，且，如图，过B做AD的垂线，满足，则点E所形成的轨迹的离心率________；点C所形成的轨迹的离心率_________．【答案】          【分析】根据绘制椭圆工具的原理，结合椭圆的定义，利用已知的长度及图形关系，即可求出椭圆的离心率.【详解】如图所示，过点E作OD的垂线，交OA的延长线于点P，交OD于N，过A作AM垂直PN，垂足为M，可知，P的轨迹为圆，而由伸缩变换可知，E的轨迹为椭圆，；所以，所以椭圆的离心率为.延长AC至K，使，则，过OK作直线l，过点C作，交OA于P，交l于N﹐过A作AM垂直PN，垂足为M，所以，可得，所以AM即是中角平分线，又是PC边上的高可得由及，易知，.故P的轨迹为圆，，由伸缩变换可知，C的轨迹为椭圆，所以椭圆的离心率为.故答案为：；三、填空题14．已知是虚数单位，，则_________．【答案】【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式化简可得结果.【详解】由已知可得，因此，.故答案为：.15．已知数列满足，则_________．【答案】【分析】根据题意可得数列的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式即可得出结果.【详解】由题意得，数列的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以.故答案为：.16．若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是____________【答案】【分析】通过列举法求出满足题意的三位数十全十美数个数，再运用概率公式计算即可.【详解】所有三位数个数为900个.“十全十美数”有54个列举如下：①有一位数字是的，共有个，分别为；②含有两个相同数字的，共有个，分别为；③不含0且没有相同数字的，共有个，分别为,从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率.故答案为:四、解答题17．【阅读材料1】我们在研究两个变量之间的相关关系时，往往先选取若干个样本点（），（），……，（），将样本点画在平面直角坐标系内，就得到样本的散点图.观察散点图，如果所有样本点都落在某一条直线附近，变量之间就具有线性相关关系，如果所有的样本点都落在某一非线性函数图象附近，变量之间就有非线性相关关系.在统计学中经常选择线性或非线性（函数）回归模型来刻画相关关系，并且可以用适当的方法求出回归模型的方程，还常用相关指数R2来刻画回归的效果，相关指数R2的计算公式为：当R2越大时，回归方程的拟合效果越好；当R2越小时，回归方程的拟合效果越差，R2是常用的选择模型的指标之一，在实际应用中应该尽量选择R2较大的回归模型.【阅读材料2】2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征二号F遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪胺3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛，该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造，根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下：当013时，确定y与x满足的线性回归直线方程为.根据以上阅读材料，解答以下问题：(1)根据下列表格中的数据，比较当0