2022届天津市南开中学高三下学期统练19数学试题含解析

这是一份2022届天津市南开中学高三下学期统练19数学试题含解析

天津市南开中学2022届高三下学期统练19数学试题一、单选题1．已知集合，，则（　　）A． B．C． D．2．已知都是实数，则“”是“”的（       ）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．即不充分也不必要条件3．设，，，则（       ）A． B． C． D．4．某公司计划招收500名新员工，共报名了2000人，远超计划，故该公司采用笔试的方法进行选拔，并按照笔试成绩择优录取.现采用随机抽样的方法抽取200名报名者的笔试成绩，绘制频率分布直方图如下：则录取分数线可估计为（       ）A．70.5 B．72.5 C．75.5 D．77.55．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（       ）A． B．C． D．6．设双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（c,0）（c＞0），且离心率等于，若该双曲线的一条渐近线被圆x2+y2﹣2cx＝0截得的弦长为2，则该双曲线的标准方程为（       ）A． B．C． D．7．智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音.已知某噪音的声波曲线在上大致如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线可以为（       ）A． B．C． D．8．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层. 内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）. 国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率. 若生产状态正常，有如下命题：甲：；乙：的取值在内的概率与在内的概率相等；丙：；丁：记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则.（参考数据：若 ，则，， ；）其中假命题是（       ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．设函数（且）在区间上是单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．二、填空题10．设i是虚数单位，若复数满足，则复数的虚部为______．11．已知的展开式中的系数为，则________.12．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积为___________.13．一猎人带着一把猎枪到山里去打猎，猎枪每次可以装3发子弹，当他遇见一只野兔时，开第一枪命中野兔的概率为0.8，若第一枪没有命中，猎人开第二枪，命中野兔的概率为0.4，若第二枪也没有命中，猎人开第三枪，命中野兔的概率为0.2，若3发子弹都没打中，野兔就逃跑了，则已知野兔被击中的条件下，是猎人开第二枪命中的概率为__________.14．若正实数，满足，则的最小值是______．15．如图，在中，、分别是、边上的中点，与的交点为，若，，则角的最大值为________.三、解答题16．△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△的面积为.(1)证明：；(2)若，求.17．如图，是边长为3的正方形，平面平面，，，，．(1)求证：面面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的大小为60°？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18．在数列中，，，，（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，，求数列的前项和.19．如图，已知椭圆的左右顶点分别是，离心率为，设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．（1）证明： ；（2）设三角形的面积为，四边形的面积为， 若 的最小值为1，求椭圆的标准方程．20．已知函数其中，a为非零实数.(1)当时，求的极值；(2)讨论的单调性；(3)若有两个极值点，，且，求证：.参考答案：1．D【解析】【分析】化简集合A，B，然后利用交集的定义运算即得.【详解】，，则.故选：D.2．C【解析】【分析】利用对数函数的单调性，结合充分性和必要性的讨论，即可判断和选择.【详解】因为在是单调增函数，又，故可得，则，故，满足充分性；若，不妨取，显然，故没有意义，故必要性不成立；综上所述，“”是“”的充分不必要条件.故选：.3．C【解析】利用对数函数、指数函数的单调性与“0，1”比较即可.【详解】，，，．故选:.【点睛】本题考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，属于基础题．4．D【解析】【分析】由频率分布直方图求出75百分位对应的分数即可得．【详解】．因此的人不能录取．由频率分布直方图得70分以下的频率为，80分以下的频率为，设录取分数线为，则，解得．故选：D．5．D【解析】【分析】根据图象得函数定义域为，图象关于轴对称，结合选项一一判断即可．【详解】根据图象得函数定义域为，图象关于轴对称，即为偶函数．对于A选项，，排除；对于B选项，函数定义域为，排除；对于C选项，函数定义域为，，故函数为非奇非偶函数，排除；对于D选项，函数符合图象要求．故选：D【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，从函数的值域判断图象的上下位；(2)从函数的单调性判断；(3)从函数的奇偶性判断；(4)从函数的特征点排除不合要求的选项.6．C【解析】由题得，，又，联立解方程组即可得，，进而得出双曲线方程.【详解】由题得               ①又该双曲线的一条渐近线方程为，且被圆x2+y2﹣2cx＝0截得的弦长为2，所以            ②又                  ③由①②③可得：，，所以双曲线的标准方程为.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.7．D【解析】【分析】根据图2求出噪音的声波曲线对应的函数的解析式，再结合题意进行求解即可.【详解】由2可知：过两点，所以有，，当时，，显然A不符合题意，此时函数的周期为，要想抵消噪音，只需函数向左或向右平移一个单位长度即可，即得到，或，故选项D符合，显然选项B，C的振幅不是2，不符合题意，故选：D【点睛】关键点睛：根据图象求出正弦型函数的解析式，结合题意利用平移解决问题是解题的关键.8．B【解析】【分析】根据可判断甲；根据两个区间长度相等，对称轴落在区间可判断乙；根据概率的对称性可判断丙；求出1只口罩的的过滤率大于的概率，再由二项分布的概率以及对立事件的概率即可判断丁，进而可得正确答案.【详解】由知，，，对于甲：由正态分布曲线可得：，故甲为真命题；对于乙：，两个区间长度均为1个，但，由正态分布性质知，落在内的概率大于落在内的概率，故乙是假命题；对于丙：由知，丙正确；对于丁：1只口罩的的过滤率大于的概率，，所以，，故丁是真命题. 故选：B.9．D【解析】【分析】分析可知函数在上单调递减，可求得，然后作出函数与函数的图象，可知两个函数在上的图象有两个交点，从而可得知函数在上有且只有一个零点，利用二次函数的零点分布可求得实数的取值范围，即可得解.【详解】当时，，二次函数图象的对称轴为直线，此时，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，不合乎题意；当时，即当时，此时，，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，不合乎题意；当时，即当时，，此时函数在上单调递减，在上单调递减，由题意可得，解得，此时.当时，，可得，令，可得，因为，则，如下图所示：因为，所以，函数与函数在上的图象有两个交点，由题意可知，函数与函数在上的图象有且只有一个交点，联立，可得，设，则函数在上有且只有一个零点，二次函数的对称轴方程为，只需，解得.综上所述，.故选：D.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.10．-3【解析】【分析】根据给定等式结合复数的除法运算直接计算作答.【详解】因，则，于是得，所以复数的虚部为-3.故答案为：-311．【解析】【分析】写出的展开式，可得出的展开式中的系数，结合已知条件可求得实数的值.【详解】因为，所以，的展开式中的系数为，解得.故答案为：.12．【解析】【分析】求出球心到截面圆所在平面的距离以及截面圆的半径，利用勾股定理可求得球的半径，利用球的表面积公式可求得结果.【详解】由题意可知，球心到截面圆所在平面的距离为，设截面圆的半径为，球的半径为，则，可得，所以，，因此，该球的表面积为.故答案为：.13．【解析】【分析】记事件“猎人第一次击中野兔”，“猎人第二次击中野兔”，“猎人第三次击中野兔”，“野兔被击中”，注意的发生是不发生的情况才可能发生，由概率公式计算出概率，求出后，再由条件概率公式计算．【详解】记事件“猎人第一次击中野兔”，“猎人第二次击中野兔”，“猎人第三次击中野兔”，“野兔被击中”，则，，，故答案为：．14．【解析】【分析】由已知不等式可解得，换元，设，则所求式变形为，利用函数的单调性可得的最小值，从而得结论．【详解】因为正实数，满足，所以，解得或，而均为正数，所以，设，则，时，由不等式，当且仅当时等号成立知在上单调递增，又，所以时，取得最小值，所以的最小值是．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查用不等式求最小值，解题关键有两点：一是由由不等式得，二是换元后利用函数的单调性求得最小值．判断时注意基本不等式的条件．利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方15．【解析】【分析】表示，进一步可得，然后计算可得关于的一元二次方程，最后利用可得结果.【详解】根据题意可知：在中，、分别是、边上的中点所以为的重心，所以又，所以又，所以根据，所以则所以，由，所以则，所以所以的最大值为故答案为：【点睛】本题考查向量的线性表示以及数量积的运算，本题难点在于的表示以及的使用和理解，属中档题.16．(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式及三角形内角性质可得，再由正弦定理的边角关系即可证结论.（2）由（1）及题设可得，进而求得，应用余弦定理及正弦定理边角关系求，即可求，注意根据B的范围判断符号，最后利用及和角余弦公式求值即可.(1)由题设，，又，所以，由正弦定理可得，所以，又，所以，即.(2)由（1）及题设，，且，所以，则，故，又，可得，若，则，而，故不合题设；所以，所以.17．(1)证明见解析(2)(3)存在点，使得平面与的夹角的大小为，此时.【解析】【分析】（1）由平面平面，证得平面，得到，再由为正方形，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面.（2）以为原点，建立的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和向量，结合向量的夹角公式，即可求解；（3）假设在线段上存在符合条件的点，设，得到，求得平面的一个法向量和向量，利用向量的夹角公式列出方程，求得的值，即可得到答案.(1)证明：因为平面平面，平面平面，平面，且，所以平面，又因为平面，所以，由四边形为正方形，可得，又由，且平面，所以平面.(2)解：因为两两垂直，所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，则，设平面的法向量为，则，取，可得，可得，所以，设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为.(3)解：假设在线段上存在符合条件的点，设，则，设平面的法向量为，则，取，可得，由（1）知平面，所以为平面的一个法向量，即，则，整理得，解得或（舍去），故在线段上存在符合条件的点，使得平面与平面的夹角的大小为，此时.18．（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）本问考查等比数列的证明，根据等比数列定义，为了证明数列为等比数列，需要证明为一个常数，根据已知条件，所以，于是问题得证；（2）根据第（1）问，是首项为，公比为的等比数列，于是可以求出，于是可以累加法求通项，，则 ，，数列的前项和可以拆分为数列，的前项和.试题解析：（1）由 ，得，又，，所以所以是首项为，公比为的等比数列．        所以，所以. （2）, ，，记数列的前项和为，则 记数列的前项和为，则           .                                               所以数列的前项和为.19．（1）证明见解析；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）根据离心率为，可得，联立直线与椭圆的方程即可求出点的坐标，从而可得直线的斜率，再根据直线的斜率，即可证明；（2）由（1）知， ，根据的最小值为1，即可求出的值，从而求出椭圆的标准方程.试题解析：（1）由 得，             .∴ ，即 .∴椭圆的方程为 ， 由，整理得： ，由 可得 ， 则点的坐标是，故直线的斜率为∵直线的斜率为∴∴.                           （2）由（1）知， ，   ∴.   ∴当时，∴ ，        ∴椭圆方程为.20．(1)的极小值为，无极大值；(2)当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在单调递增；(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据求导公式和运算法则求出，令求出极值点，进而可得函数的单调性，即可得出函数的极值；(2)求出函数的导数，通过讨论参数a的取值范围，分别求出对应的单调区间即可；(3)将所证问题转化为，构造函数，利用导数研究函数的单调性即可证明.(1)函数的定义域为，当时，，则，令，解得或(舍去)，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数的极小值为，无极大值；(2)函数的定义域为，则，当即时，，函数在上单调递增；当即时，令，得、，则当时，，当时，，故在和上单调递增，在上单调递减；当时，，舍去.所以在上单调递减，在上单调递增；(3)因为有两个极值点，由(2)知当时，、，所以且，要证，令，则，所以在上单调递增，且，故，即.