2021-2022学年北京师大二附中未来科技城学校高一（下）学情调研数学试卷（3月份）（Word解析版）

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2021-2022学年北京师大二附中未来科技城学校高一（下）学情调研数学试卷（3月份）一、单选题（本大题共10小题，共40分）下列角中终边与330°相同的角是(    )A. 30° B. -30° C. 630° D. -630°若角β的终边经过点P(1,-2)，则sinβ的值是(    )A. -255 B. 55 C. -55 D. 255若sinα>0，且tanα<0，则角α的终边位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限|a|=2，|b|=4，向量a与向量b的夹角为120°，则a⋅b=(    )A. -12 B. -8 C. 8 D. -4在半径为2的圆中，13弧度的圆心角所对的弧长为(    )A. 23 B. 2π3 C. 32 D. 以上都不对已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a⋅b=2，则向量a，b的夹角为(    )A. 3π4 B. 2π3 C. π4 D. -π4在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=13，则sinβ=(    )A. -13 B. 13 C. -223 D. 223在边长为2的等边△ABC中，BN=3NC，则AN⋅BC=(    )A. 0 B. 12 C. 1 D. 2已知sin(π4+α)=32，则sin(3π4-α)值为(    )A. 12 B. -12 C. 32 D. -32定义运算a*b为a*b=a,a≤bb,a>b，例如，1*2=1，则函数f(x)=sinx⋅cosx的值域为(    )A. [-1,1] B. [-22,1] C. [-1,22] D. [-1,-22]二、填空题（本大题共6小题，共30分）求值：sin13π6= ______ ．函数f(x)=cos(2x+π3)的最小正周期是______．函数y=tan(x-π3)的定义域为______．已知cosα-sinα=-15，则sinαcosα=______．写出一个具有性质：①定义域为R；②函数f(x)是奇函数；③f(x+π)=f(x)的函数的解析式______．已知函数y=f(x)，若对于任意x∈R，f(2x)=2f(x)恒成立，则称函数y=f(x)具有性质P，(1)若函数f(x)具有性质P，且f(4)=8，则f(1)=   (1)   ；(2)若函数f(x)具有性质P，且在(1,2]上的解析式为y=cosx，那么y=f(x)在(1,8]上有且仅有   (2)   个零点．三、解答题（本大题共5小题，共80分）已知sinα=35，且α是第_______象限角．从“一、二、三、四”这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下的问题：(1)求cosα，tanα的值；(2)化简求值：sin(π-α)cos(32π+α)sin(-α)tan(π+α)．已知函数f(x)=2sin(2x-π4).(1)求f(0)的值和函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调递增区间．已知函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω的值；(2)求函数f(x)的对称轴；(3)求f(x)在[-π4,π4]上的最值及对应的x的值．函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求图中a，b的值；(3)求不等式f(x)≥2的解集．已知函数f(x)=3sin(ωx-π6)+b(ω>0)，且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为π4，当x∈[0,π4]时，f(x)的最大值为2．(1)求函数f(x)的解析式．(2)将函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度得到函数g(x)的图象，若任意x∈[0,π3]，都有g(x)-2≤m≤g(x)+2恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B 【解析】解：因为330°的终边与-30°的终边相同，所以B满足题意．故选B．直接利用终边相同的角判断即可．本题考查终边相同的角的表示方法，考查基本知识的熟练程度．2.【答案】A 【解析】解：∵角β的终边经过点P(1,-2)，∴x=1，y=-2，|OP|=5，因此，sinβ=-25=-255．故选：A．由角β的终边经过点P(1,-2)，利用任意角的三角函数定义求出sinβ即可．此题考查了任意角的三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键．3.【答案】B 【解析】解：∵sinα>0，则角α的终边位于一二象限，∵由tanα<0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．故选择B．由sinα>0，则角α的终边位于一二象限，由tanα<0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．本题考查三角函数值的符号规律，属于基础题，合理地将条件化简，从而将问题转化为已知三角函数值的符号问题．4.【答案】D 【解析】解：a⋅b=|a|⋅|b|cos120°=2×4×(-12)=-4．故选：D．根据向量的数量及公式直接计算即可．本题主要考查向量的数量积公式，属于基础题．5.【答案】A 【解析】解：半径为2的圆中，13弧度的圆心角所对的弧长l=2×13=23．故选：A．利用弧长公式即可得出．本题考查了弧长公式的应用，属于基础题．6.【答案】C 【解析】解：设向量a，b的夹角为θ，则θ∈[0,π]，由|a|=2，|b|=1，a⋅b=2，所以cosθ=a⋅b|a|×|b|=22×1=22，所以向量a，b的夹角为θ=π4．故选：C．根据平面向量的夹角公式计算即可．本题考查了平面向量的数量积与夹角计算问题，是基础题．7.【答案】B 【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β=π+2kπ，k∈Z，∵sinα=13，∴sinβ=sin(π+2kπ-α)=sinα=13.k∈Z．故选：B．推导出α+β=π+2kπ，k∈Z，从而sinβ=sin(π+2kπ-α)=sinα．本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】C 【解析】解：由题意令a=AB,b=AC，则|a|=|b|=2,=60°，因为BN=3NC，所以AN=AB+34BC=AB+34(AC-AB)=14a+34b，BC=AC-AB=b-a，则AN⋅BC=(14a+34b)⋅(b-a)=34b2-14a2-12a⋅b=34×22-14×22-12×22×12=1．故选：C．以a=AB,b=AC为基底向量，结合已知条件用a,b表示出AN,BC计算即可．本题考查平面向量数量积的运算和性质，属于基础题．9.【答案】C 【解析】解：sin(π4+α)=32，sin(3π4-α)=sin(π-π4-α)=sin(π4+α)=32故选：C．直接利用诱导公式化简sin(3π4-α)，求出sin(π4+α)的形式，求解即可．本题是基础题，考查三角函数的诱导公式，整体思想，考查计算能力．10.【答案】C 【解析】解：由题意可得f(x)=sinx⋅cosx，当x∈[π4+2kπ,54π+2kπ]，k∈Z，这时sinx≥cosx，所以f(x)=cosx，这时函数的值域为[-1,22];当x∈[-34π+2kπ,π4+2kπ]，k∈Z，这时sinx≤cosx，所以f(x)=sinx，这时函数的值域为[-1,22];所以函数的值域为[-1,22];故选：C．由x的范围可得角x的正弦值与余弦值的大小，由题意可得函数f(x)的解析式，进而求出各个区间的值域，进而求出函数的值域。本题考查三角函数的性质及由自变量的范围求解函数的值域的方法，属于中档题。11.【答案】12 【解析】解：sin13π6=sin(2π+π6)=sinπ6=12．故答案为：12．利用诱导公式即可求解．本题考查运用诱导公式化简求值，考查了转化思想，属于基础题．12.【答案】π 【解析】解：函数f(x)=cos(2x+π3)的最小正周期是2πω=2π2=π．故答案为：π．利用2πω可求最小正周期．本题考查余弦型函数的最小正周期的公式，属基础题．13.【答案】{x|x≠5π6+kπ,k∈Z} 【解析】解：由x-π3≠π2+kπ，得x≠5π6+kπ，k∈Z．∴函数y=tan(x-π3)的定义域为{x|x≠5π6+kπ,k∈Z}．故答案为：{x|x≠5π6+kπ,k∈Z}．由x-π3≠π2+kπ(k∈Z)求解x的范围得答案．本题考查正切型函数的定义域及其求法，是基础题．14.【答案】1225 【解析】解：因为cosα-sinα=-15，两边平方，可得(cosα-sinα)2=sin2α+cos2α-2sinαcosα=1-2sinαcosα=125，所以解得sinαcosα=1225．故答案为：1225．将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式即可求解．本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．15.【答案】f(x)=sin2x(答案不唯一) 【解析】解：根据题意，要求函数f(x)是奇函数，且f(x+π)=f(x)，即其周期为π，定义域为R，可以为三角函数的变形形式，故要求函数可以为f(x)=sin2x；故答案为：f(x)=sin2x(答案不唯一)．根据题意，结合正弦函数的性质分析可得答案．本题考查函数的奇偶性、周期性，注意三角函数的性质，属于基础题．16.【答案】23 【解析】解：(1)因为函数y=f(x)，具有性质P，所以对于任意x∈R，f(2x)=2f(x)恒成立，所以f(4)=f(2×2)=2f(2)=2f(2×1)=4f(1)=8，所以f(1)=2．(2)若函数y=f(x)具有性质P，且在(1,2]上的解析式为y=cosx，由y=cosx=0，则x=π2，由f(2x)=2f(x)得f(x)=2f(x2)，若20，所以α只可能是第一或二象限的角，选择“一”：(1)因为α是第一象限角，所以cosα=1-sin2α=45，所以tanα=sinαcosα=34．(2)sin(π-α)cos(32π+α)sin(-α)tan(π+α)=sinα⋅sinα-sinα⋅tanα=-cosα=-45．选择“二”：(1)因为α是第二象限角，所以cosα=-1-sin2α=-45，所以tanα=sinαcosα=-34．(2)sin(π-α)cos(32π+α)sin(-α)tan(π+α)=sinα⋅sinα-sinα⋅tanα=-cosα=45． 【解析】由题意知，α只可能是第一或二象限的角，(1)先根据同角三角函数的平方关系求得cosα的值，再由同角三角函数的商数关系，即可得解；(2)先利用诱导公式化简所求式子，再代入数据，得解．本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握同角三角函数的关系式，诱导公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)对于函数f(x)=2sin(2x-π4)，f(0)=2sin(-π4)=2×(-sinπ4)=-2，‘ f(x)的最小正周期为2π2=π．(2)令2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2，k∈Z，求得kπ-π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z，可得函数的增区间为[kπ-π8,kπ+3π8]，k∈Z． 【解析】(1)根据函数的解析式，求得f(0)，再根据正弦函数的周期性，求得f(x)的最小正周期．(2)由题意，利用正弦函数的单调性求出f(x)的单调递增区间．本题主要考查正弦函数的周期性、单调增区间，属于基础题．19.【答案】解：(1)依题，函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，则ω=2ππ=2；综上所述，结论：ω=2，(2)由(1)知，f(x)=2sin(2x+π3)，则2x+π3=π2+kπ，k∈Z，即x=π12+kπ，k∈Z，(3)由(1)知，f(x)=2sin(2x+π3)，∵x∈[-π4,π4]，∴2x∈[-π2,π2]，∴2x+π3∈[-π6,5π6]，∴sin(2x+π3)∈[-12,1]，∴2sin(2x+π3)∈[-1,2]，当x=-π4时有最小值-1，当x=π12时有最大值2． 【解析】(1)利用周期，求得函数解析式，(2)利用函数的对称轴进行求解即可，(3)先求得2x+π3的取值范围，再求最值．本题考查三角函数的图像与性质，考查学生的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由图象知A=2，3T4=5π12-(-π3)=3π4，则T=π，即2πω=π，则ω=2，即f(x)=2sin(2x+φ)，∵f(-π3)=2sin[2×(-π3)+φ]=-2，即sin(-2π3+φ)=-1，∵|φ|<π2，∴-π2<φ<π2，∴-7π6<φ-2π3<-π6，则φ-2π3=-π2，即φ=π6，∴f(x)=2sin(2x+π6). (2)∵函数的周期T=5π12-a=π，∴a=-7π12，b=f(0)=2sinπ6=2×12=1．(3)∵f(x)=2sin(2x+π6)≥2，可得sin(2x+π6)≥22，∴2kπ+π4≤2x+π6≤2kπ+3π4，k∈Z，解得kπ+π24≤x≤kπ+7π24，k∈Z，∴不等式f(x)≥2的解集为{x|kπ+π24≤x≤kπ+7π24,k∈Z}． 【解析】(1)根据三角函数的图象确定A，ω和φ的值即可得解函数f(x)的解析式．(2)根据三角函数的图象进行求解即可．(3)由题意解sin(2x+π6)≥22，由正弦函数的图象和性质可即可得解．本题主要考查三角函数的图象和性质，考查了数形结合思想和函数思想的应用，根据条件求出A，ω和φ的值求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意知，T4=π4，得T=π，由T=2πω=π，可得ω=2，所以f(x)=3sin(2x-π6)+b，因为x∈[0,π4]，所以2x-π6∈[-π6,π3]，当2x-π6=π3，即x=π4时，函数f(x)取得最大值，为f(π4)=3sinπ3+b=2，解得b=12，所以f(x)=3sin(2x-π6)+12．(2)g(x)=3sin[2(x-π12)-π6]+12=3sin(2x-π3)+12，因为x∈[0,π3]，所以2x-π3∈[-π3,π3]，所以g(x)=3sin(2x-π3)+12∈[-1,2]，所以g(x)-2∈[-3,0]，g(x)+2∈[1,4]，因为g(x)-2≤m≤g(x)+2在x∈[0,π3]上恒成立，所以m∈[0,1]． 【解析】(1)根据函数图象的对称性可得T=π，再由T=2πω求得ω的值，然后结合正弦函数的图象与性质，求得b的值，得解；(2)由函数图象“左加右减”的原则写出g(x)的解析式，根据正弦函数的图象与性质求得g(x)的值域，即可得解．本题考查三角函数的综合，熟练掌握正弦函数的图象与性质，函数图象的变换法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．题号一二三总分得分