2021-2022学年河南省中原顶级名校高三（上）联考数学试卷（文科）（1月份）（Word解析版）

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2021-2022学年河南省中原顶级名校高三（上）联考数学试卷（文科）（1月份）一、单选题（本大题共12小题，共60分）已知集合M={-1,1}，M∩N={1}，M∪N={-1,0,1}，则集合N=( )A. {-1} B. {0,-1} C. {0,1} D. {0}设z-是复数z的共轭复数，若2i=z-+2，则z=( )A. 2-2i B. -2-2i C. -2+2i D. 2+2i将正方形ABCD沿着对角线AC折成一个直二面角，此时BD=2，则边长AB=( )A. 12 B. 1 C. 32 D. 2已知a>0，b>0，条件p：4a+b=ab，条件q：a+b≥9，则p是q的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件已知A(-1,2)，B(3,5)，则与直线AB平行且距离为2的直线方程为( )A. 3x-4y+21=0B. 3x-4y-1=0C. 3x-4y+21=0或3x-4y+1=0D. 3x-4y-21=0或3x-4y-1=0已知实数x，y满足不等式组x+y≥12x-y≤2y≤2，则目标函数z=x+2y的最大值为( )A. 6 B. 4 C. 3 D. 1已知向量a为单位向量，向量b满足|b|=2|a|，则(2a+b)⋅(a-3b)的最小值为( )A. 15 B. 0 C. -2 D. -20已知α∈(π2,3π2)，sin2α=13，则sinα+cosα=( )A. -233 B. 233 C. ±233 D. -63从区间(1,2)中任取两个实数x，y，则满足(x-2)2+(y-2)2≤1(x-1)2+(y-1)2≤1的概率为( )A. π2-1 B. π4-12 C. 1-π4 D. 2-π2函数f(x)=ex-11-(x+1)2-1的零点个数为( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 3我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S=14[c2a2-(c2+a2-b22)2].已知在△ABC中，accosB=8，b=23，则△ABC面积的最大值为( )A. 33 B. 233 C. 62 D. 6已知函数f(x)=ex-e-x-2x，若f(a-2ln(|x|+1))+f(x22)≥0恒成立，则实数a的最小值为( )A. 0 B. 2ln2-1 C. 2ln2-12 D. ln2-12二、填空题（本大题共4小题，共20分）已知x1，x2，x3，⋯，xn的中位数为a，则2x1-1，2x2-1，2x3-1，⋯，2xn-1的中位数为______．已知函数f(x)=-x2,x≥02x,x<0，则f(f(1))=______．已知三棱锥D-ABC的底面ABC是正三角形，AB=3，DA=DB=DC=23，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为______．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，过点M(0,-b)的直线l与双曲线C在第一象限切于点A，F为双曲线C的右焦点，若直线AF的斜率为142，则双曲线C的离心率e=______．三、解答题（本大题共7小题，共82分）身高体重指数(BMI)的大小直接关系到人的健康状况，某高中高三(1)班班主任为了解该班学生的身体健康状况，从该班学生中随机选取5名学生，测量其身高、体重(数据如表)并进行线性回归分析，得到线性回归方程为y=0.9x-90，因为某些原因，3号学生的体重数据丢失．(Ⅰ)求表格中的Z值；(Ⅱ)已知公式R2=1-i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y-)2可以用来刻画回归的效果，请问学生的体重差异约有百分之多少是由身高引起的．(注：结果四舍五入取整数)如图，四边形ABCD是正方形，DG⊥平面ABCD，AE//DG//CF，AE=CF=12DG=1．(Ⅰ)证明：BG⊥AC；(Ⅱ)若点D到平面BEGF的距离为2，求该几何体的体积．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=12，2Sn⋅Sn+1=-an+1，bn=(2an)-2，且数列{bn}的前n项积为Tn．(Ⅰ)求Sn；(Ⅱ)证明：12≤Tn<1．已知函数f(x)=ex+ax(a∈R,e为自然对数的底数)．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)求函数f(x)的极值的最大值．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0)，F2(1,0)，过点F1的直线l1交椭圆C于A，B两点．当直线l1的斜率为1时，点(-47,37)是线段AB的中点．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)如图，若过点F2的直线l2交椭圆C于E，G两点，且l1//l2，求四边形ABEG的面积的最大值．设极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．已知曲线C1：x=2+22cosαy=2+22sinα(α为参数)，曲线C2：x=-1+tcosθy=-1+tsinθ(t为参数)．(Ⅰ)求曲线C1的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线C1与曲线C2相切于点A，且点B的极坐标为(2,5π4)，求|AB|．已知函数f(x)=|x+2|+|x-1|+x．(Ⅰ)求不等式f(x)≤5的解集；(Ⅱ)若不等式f(x)≥mx在R上恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】C 【解析】解：∵集合M={-1,1}，M∩N={1}，M∪N={-1,0,1}，∴集合N={0,1}．故选：C．利用交集、并集定义直接求解．本题考查集合的运算，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C 【解析】解：由题意可得，z-=2i-2，化简可得 z-=-2-2i，∴z=-2+2i，故选：C．根据复数的运算法则，即可解出．本题考查了复数的运算法则，学生的数学运算能力，属于基础题．3.【答案】D 【解析】解：如图，取AC的中点为O，连接OB，OD，由正方形的性质得△ACD，△ABC为等腰直角三角形，所以OD⊥AC，OB⊥AC，所以∠BOD是二面角B-AC-D的平面角，因为正方形ABCD沿着对角线AC折成一个直二面角，所以∠BOD=π2．因为△BOD是等腰直角三角形，OB=OD=22AB，所以(22AB)2+(22AB)2=4，解得AB=2．故选：D．取AC的中点为O，连接OB，OD，根据题意得∠BOD=π2，OB=OD=22AB，进而根据勾股定理得AB=2．本题主要考查折叠问题的处理方法，空间中距离的计算等知识，属于基础题．4.【答案】A 【解析】解：若a>0，b>0，且4a+b=ab，则4b+1a=1，所以a+b=(a+b)(1a+4b)=1+4+ba+4ab≥5+2ba⋅4ab=5+4=9，当且仅当ba=4ab，即a=3，b=6时取等号，此时a+b≥9，当a+b≥9时，如a=2，b=10，则4a+b≠ab，所以p是q的充分不必要条件，故选：A．利用基本不等式以及“1”的代换可以得出p⇒q，然后由q到p时，举反例即可求解．本题考查了四个条件的应用，涉及到基本不等式以及“1”的代换，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．5.【答案】C 【解析】解：已知A(-1,2)，B(3,5)，所以直线AB的斜率k=34，所以直线AB的方程为y-5=34(x-3)，整理得3x-4y+11=0，设与直线AB平行的直线方程为3x-4y+c=0，利用平行线间的距离公式：|11-c|32+(-4)2=2，解得c=1或21．故直线的方程为3x-4y+21=0或3x-4y+1=0．故选：C．直接利用平行线间的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：平行线间的距离公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.【答案】A 【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组解得C(2,2)，由z=x+2y，得y=-x2+z2，由图可知，当直线y=-x2+z2过C时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6．故选：A．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．7.【答案】D 【解析】解：因为向量a为单位向量，向量b满足|b|=2|a|，所以|a|=1，a²=1，|b|=2，b²=4，a⋅b=1⋅2⋅cos，所以(2a+b)⋅(a-3b)=2a²-5a⋅b-3b²=2⋅1-5⋅2cos-3⋅4=-10-10cos，所以当cos=1时，(2a+b)⋅(a-3b)的最小值为-20，故选：D．根据向量数量积的定义和性质运算即可．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．8.【答案】A 【解析】解：因为α∈(π2,3π2)，sin2α=2sinαcosα=13>0，所以sinα<0，cosα<0，所以sinα+cosα=-(sinα+cosα)2=-1+2sinαcosα=-1+sin2α=-1+13=-233．故选：A．由已知利用二倍角的三角函数公式可求sinα<0，cosα<0，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解．本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9.【答案】A 【解析】解：如图，S正方形ABCD=1×1=1， S阴影=2×14×π×12-2×12×1×1=π2-1，∴满足(x-2)2+(y-2)2≤1(x-1)2+(y-1)2≤1的概率为：P=S阴影S正方形ABCD=π2-1．故选：A．首先作出不等式表示的平面区域，再利用面积比值求概率．本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】B 【解析】解：由1-(x+1)2≠0可得：x≠0且x≠-2，即f(x)的定义域为{x|x≠0且x≠-2}，令f(x)=0，得到ex-1=-x2-2x，在同一坐标中作出两函数y=ex-1，y=-x2-2x的图象，如图所示，由此可得两函数只有一个交点，所以f(x)的零点只有一个，故选：B．求出定义域，再作出两函数的图象，由图象可得交点个数即可．本题考查了函数的零点，也考查了学生的作图能力，属于基础题．11.【答案】A 【解析】解：因为accosB=ac⋅a2+c2-b22ac=a2+c2-b22=8，又因为b=23，所以a2+c2=28，所以ac≤a2+c22=14，(当且仅当a=c=14时取等号)，所以S△ABC=14[a2c2-(a2+c2-b22)2]=14(a2c2-82)≤14×(142-82)=33．所以△ABC面积的最大值为33．故选：A．根据题意，结合余弦定理得a2+c2-b22=8，a2+c2=28，ac≤a2+c22=14，再根据公式求解即可．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．12.【答案】C 【解析】解：易知f(x)是R上的奇函数，且f'(x)=ex+e-x-2⩾2ex⋅e-x-2=0，当且仅当ex=e-x，即x=0时，等号成立，所以f(x)是R上的增函数，f(a-2ln(|x|+1))+f(x22)⩾0等价于f(a-2ln(|x|+1))⩾-f(x22)=f(-x22)，所以a-2ln(|x|-1)⩾-x22，即a⩾-x22+2ln(|x|+1)，令g(x)=-x22+2ln(|x|+1)，则a⩾g(x)max，因为g(-x)=g(x)且定义域为R，所以g(x)=-x22+2ln(|x|+1)是R上的偶函数，所以只需求g(x)在[0,+∞)上的最大值即可，当x∈[0,+∞)时，g(x)=-x22+2ln(x+1)，g'(x)=-x+2x+1=-x2-x+2x+1=-(x+2)(x-1)x+1，则当x∈[0,1)时，g'(x)>0；当x∈(1,+∞)时，g'(x)<0，所以g(x)在[0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以当x∈[0,+∞)时，g(x)max=g(1)=2ln2-12，所以在定义域R上，g(x)max=2ln2-12，即a⩾2ln2-12．故选：C．易知f(x)是R上的奇函数，且f'(x)=ex+e-x-2⩾2ex⋅e-x-2=0，f(a-2ln(|x|+1))+f(x22)⩾0等价于f(a-2ln(|x|+1))⩾-f(x22)=f(-x22)，令g(x)=-x22+2ln(|x|+1)，则a⩾g(x)max，利用导数求g(x)在[0,+∞)上的最大值即可．本题考查了利用导数研究函数的最值问题，属于中档题．13.【答案】2a-1 【解析】解：当n为奇数时，设中位数为xi=a，则2x1-1，2x2-1，2x3-1，⋯，2xn-1的中位数为2xi-1=2a-1；当n为偶数时，设中位数为xi，xi+1，则xi+xi+1=2a，则2x1-1，2x2-1，2x3-1，⋯，2xn-1的中位数为2xi-1+2xi+1-12=2a-1．故答案为：2a-1．根据中位数算法计算即可．本题考查中位数求法，考查数学运算能力，属于基础题．14.【答案】-2 【解析】解：∵函数f(x)=-x2,x≥02x,x<0，∴f(1)=-12=-1，∴f(f(1))=f(-1)=2×(-1)=-2，故答案为：-2．根据分段函数的解析式，先求出f(1)的值，再求f(f(1))的值．本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．15.【答案】16π 【解析】解：∵三棱锥D-ABC的底面ABC是正三角形，AB=3，DA=DB=DC=23，故三棱锥D-ABC是正三棱锥，设A在底面内的投影为E，外接球球心为O，如图，∵正三棱锥D-ABC中，底面边长为3，侧棱长为23，BE=23×32×3=3，∴高DE=DB2-BE2=(23)2-(3)2=3，由球心O到四个顶点的距离相等，在直角三角形BOE中，BO=R，EO=OB2-BE2=3-R，由BO2=BE2+EO2，得R2=3+(3-R)2，R=2，∴外接球的半径为R=2，表面积为：4⋅π⋅R2=16π，故答案为：16π．由题意推出球心O到四个顶点的距离相等，利用直角三角形BOE，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．本题属于中档题，考查空间想象能力，计算能力；直角三角形BOE是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．16.【答案】425或22 【解析】解：设直线l的方程为y=kx-b(k>0)，联立x2a2-y2b2=1y=kx-b，消去y并化简得(b2-a2k2)x2+2a2bkx-2a2b2=0，(*) 由题意得Δ=4a4b2k2+8a2b2(b2-a2k2)=0，即a2k2=2b2，代入方程(*)并化简得x2-22ax+2a2=0，所以xA=2a，代入双曲线方程可得yA=b，即A(2a,b),F(c,0)，kAF=b2a-c=142，即b22a2-22ac+c2=a2-c22a2-22ac+c2=72，即e2-12-22e+e2=72，化简得5e2-142e+16=0，解得e=425或e=22．故答案为：425或22．设直线l的方程为y=kx-b(k>0)，联立直线与双曲线方程，消去y并化简，由题意有Δ=0，将k用a，b表示，从而可求得A点的坐标，再根据直线AF的斜率为142，可得a，c的齐次式，从而可得出答案．本题考查了双曲线的离心率问题，属于中档题．17.【答案】解：(I)x-=165+170+175+170+1705=170，∵线性回归方程为y=0.9x-90，∴y-=0.9×170-90=63，∴58+62+Z+65+635=63，解得Z=67．(II)由回归方程可得，各组数据的残差，如表所示： i=15(yi-yi)2=(-0.5)2+(-1)2+(-0.5)2+22+02=5.5，i=15(yi-y-)2=(-5)2+(-1)2+42+22+02=46，则R2=1-5.546≈0.88，故学生的体重差异约有88%是由身高引起的．【解析】(I)根据已知条件，结合线性回归方程的性质，即可求解．(II)根据已知条件，结合公式R2=1-i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y-)2，即可求解．本题主要考查线性回归方程的性质，考查计算能力，属于中档题．18.【答案】证明：(Ⅰ)如图，连接BD，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵DG⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，所以DG⊥AC，又BD∩DG=D，DB，DG⊂平面BDG，∴AC⊥平面BDG，又BG⊂平面BDG，∴BG⊥AC；解：(Ⅱ)如图，连接EF，∵AE//CF，且AE=CF，∴四边形ACFE是平行四边形，则AC//EF，由(Ⅰ)可知AC⊥平面BDG，∴EF⊥平面BDG，又EF⊂平面BEGF，∴平面BDG⊥平面BEGF，过D作BG放入垂线DH，交BG于H，则DH为点D到平面BEGF的距离，设AB=x，则BD=2x，BG=2x²+4，根据等积思想可得DH=22x2x2+4=2，解得x=2，将该几何体补成四棱柱ABCD-E1B1F1G，则四棱柱ABCD-E1B1F1G的体积V=2×2×2=4，故所给几何体的体积V1=12V=2．【解析】(Ⅰ)连接BD，证明AC⊥BDG，即可得证；(Ⅱ)如图，连接EF，先证明平面BDG⊥平面BEGF，过D作BG的垂线DH，交BG于H，求出AB=2，再用补形法求解即可．本题考查由线面垂直证明线线垂直，考查锥体体积的有关计算，组合体的体积求解，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)∵2Sn⋅Sn+1=-an+1=Sn-Sn+1，∴1Sn+1-1Sn=2，∴{1Sn}是等差数列，且首项1S1=1a1=2，公差为2，∴1Sn=2+2(n-1)=2n，∴Sn=12n．(Ⅱ)证明：当n≥2，n∈N*时，an=Sn-Sn-1=12n-12(n-1)=-12(1n-1-1n)，∵a1=12，∴b1=12，∴bn=12,n=121 n-1-1n,n≥2，∴Tn=12⋅21-12⋅212-13⋅213-14⋅214-15⋅…⋅21n-1-1n=2-1+(1-12)+(12-13)+(13-14)+……(1n-1 -1n)=21n，∴Tn=2-1n,n∈N*．∵n∈N*,-1≤-1n<0，∴12≤2-1n<1，即12≤Tn<1．【解析】(Ⅰ)由条件可得1Sn+1-1Sn=2，进而得{1Sn}是等差数列，再根据等差数列通项公式求解即可；(Ⅱ)由(1)得an=-12(1n-1-1n),n≥2,n∈N*，进而得bn=12,n=121 n-1-1n,n≥2，进而得Tn=2-1n，再根据-1≤-1n<0，即可得12≤Tn<1．本题考查了数列的递推式，求和以及与不等式的综合，属于难题．20.【答案】解：(Ⅰ)∵函数f(x)=ex+ax(a∈R,e为自然对数的底数)，∴f(x)的定义域为(-∞,+∞)，f'(x)=ex+a，当a≥0时，f'(x)>0，f(x)在(-∞,+∞)上单调递增，当a<0时，令f'x)=0，得x=ln(-a)，当x∈(-∞,ln(-a))时，f'(x)<0，当x∈(ln(-a),+∞)时，f'(x)>0，∴f(x)在(-∞,ln(-a))上单调递减，在(ln(-a),+∞)上单调递增．综上，当a≥0时，f'(x)>0，f(x)在(-∞,+∞)上单调递增，当a<0时，f(x)在(-∞,ln(-a))上单调递减，在(ln(-a),+∞)上单调递增．(Ⅱ)由(Ⅰ)知当a≥0时，f(x)无极值，当a<0时，f(x)存在极小值，且极小值为f(ln(-a))=eln(-a)+aln(-a)=-a+aln(-a)．无极大值，设g(x)=x-xlnx，x>0，则g'(x)=-lnx，令g'(x)=0，得x=1，当x∈(0,1)时，g'(x)>0，当x∈(1,+∞)时，g'(x)<0，∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，∴g(x)的最大值为g(1)=1-ln1=1，∴函数f(x)的极值的最大值为1．【解析】(Ⅰ)先求出函数的层数，利用导数性质分类讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)由单调性求出极值，再通过研究单调性能求出函数f(x)的极值的最大值．本题考查函数的单调区间、最值的求法，考查导数性质、函数的单调性、极值、最值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)设A(x1,y1)，B(x2,y2). 由题意可得b2x12+a2y12-a2b2=0b2x22+a2y22-a2b2=0，∴y1-y2x1-x2=-b2a2⋅x1+x2y1+y2=-b2a2⋅-43，即4b23a2=1，∴b2a2=34，又∵a2-b2=1，∴a2=4，b2=3，∴椭圆C的标准方程为x24+y23=1．(Ⅱ)根据对称性知|AB|=|EG|，AB//EG，所以四边形ABEG是平行四边形，又S四边形ABEG=2S△F2AB，所以问题可转化为求S△F2AB的最大值．设直线l1的方程为x=my-1，代入x24+y23=1，得(3m2+4)y2-6my-9=0，则y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4，所以S△F2AB=12⋅2⋅|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=(6m3m2+4)2-4⋅-93m2+4=121+m23m2+4，令1+m2=t，则t≥1，且m2=t2-1，所以S△F2AB=12t3t2+1=123t+1t，记h(t)=3t+1t(t≥1)，易知h(t)在[1,+∞)上单调递增．所以h(t)min=h(1)=4，所以S△F2AB=123t+1t≤124=3．故四边形ABEG的面积的最大值是6．【解析】(Ⅰ)根据题意设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用点差法得4b23a2=1，再结合a2-b2=1解方程即可得答案；(Ⅱ)根据椭圆的对称性得四边形ABEG是平行四边形，进而将问题转化为求S△F2AB的最大值，设直线l的方程为x=my-1，与椭圆方程进行联立，结合韦达定理得S△F2AB=12⋅2⋅|y1-y2|=121+m23m2+4，令1+m2=t，再根据基本不等式求解．本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，属于难题．22.【答案】解：(Ⅰ)已知曲线C1：x=2+22cosαy=2+22sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为(x-2)2+(y-2)2=8，根据x=ρcosθy=ρsinθx2+y2=ρ2转换为极坐标方程为ρ=4cosθ+4sinθ．(Ⅱ)将点B的极坐标为(2,5π4)，转换为直角坐标为(-1,-1)，且曲线C2恒过点B(-1,-1)，将曲线C2：x=-1+tcosθy=-1+tsinθ(t为参数)代入(x-2)2+(y-2)2=8，得到(-3+tcosθ)2+(-3+tsinθ)2=8，化简得t2-(6cosθ+6sinθ)t+10=0=0，利用Δ=(6cosθ+6sinθ)2-40=0，则6cosθ+6sinθ=±210，所以t2±210t+10=0，所以t=±10．故|AB|=|t|=10．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(Ⅱ)利用直线和圆的相切建立等量关系式，利用判别式为0，进一步求出t值，进一步求出|AB|的长．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆相切的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)当x≤-2时，f(x)=-x-2-x+1+x=-x-1，由-x-1≤5，得x≥-6，∴不等式的解集为[-6,-2]；当-2