人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数优秀ppt课件

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在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
【思考】如果你去买商品，你会选哪一家店呢？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
2. 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
1. 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元.
（1）销售额= 售价×销售量;
（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量;
（3）单件利润=售价-进价.
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
y=(20+x)(300-10x)
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),
即：y=-10x2+100x+6000.
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
即定价65元时，最大利润是6250元.
降价销售①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
y=(20-x)(300+18x)
建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，
即y=-18x2+60x+6000.
例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
综合可知，应定价65元时，才能使利润最大.
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.
③涨价多少元时，利润最大，是多少？
即：y=-18x2+60x+6000，
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?
例2 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：
y=(10+x)(180-10x)
建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x),
即：y=-10x2+80x+1800.
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x ≥0，因此自变量的取值范围是x ≤18.
y=-10x2+80x+1800 =-10(x-4)2+1960.
当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元.
答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.
求解最大利润问题的一般步骤
（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式法求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?
解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x) =-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500. ∴当x=5时，y最大 =4500 .答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元.
例3 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？
解：由题意得：当40≤x≤50时， Q = 60(x－30)= 60x－1800. ∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大， ∴当x最大= 50时，Q最大= 1200. 答：此时每月的总利润最多是1200元.
（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
解：当50≤x≤70时， 设y与x函数关系式为y=kx+b, ∵线段过(50，60)和(70，20).
50k+b=60,70k+b=20,
∴ y =－2x +160（50≤x≤70）.
k =－2,b = 160.
∴Q=(x－30)y =(x－30)(－2x + 160) =－2x2 + 220x－ 4800 =－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70). ∵a = －2＜0，图象开口向下，∴当x = 55时，Q最大= 1250.∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.
解：∵当40≤x≤50时， Q最大= 1200＜1218.当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218.∴售价x应在50~70元之间.因此令－2(x－55)2 +1250=1218,解得：x1=51，x2=59.当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件),当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件).∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为 51 元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.
（3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？
变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
解：Q与x的函数关系式为：
60x－1800 , （40≤x≤50 ）－2(x－55)2 + 1250. （50≤x≤70）
由例3可知：若40≤x≤50， 则当x=50时，Q最大= 1200,若50≤x≤70， 则当x=55时，Q最大= 1250.∵1200＜1250∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.
（2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x的取值范围；
解：①当40≤x≤50时，∵Q最大= 1200＜1218， ∴此情况不存在.
②当50≤x≤70时， Q最大= 1250>1218，令Q = 1218，得－2(x－55)2 +1250=1218.解得x1=51，x2=59.由Q = －2(x－55)2 +1250的图象和性质可知:当51≤x≤59时，Q≥1218.因此若该商品所获利润不低于1218元，则售价x的取值范围为51≤x≤59.
（3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？
51≤x≤59,30 (－2 x +160)≥1620.
解得：51≤x≤53.
∵Q=－2(x－55)2 +1250的顶点 不在51≤x≤53范围内，又∵a =－2＜0，∴当51≤x≤53时 ，Q随x的增大而增大.∴当x最大 = 53时，Q最大= 1242.∴此时售价x应定为53元，利润最大，最大利润是1242元.
某商店购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个. (1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是_______元，这种篮球每月的销售量是 个(用x的代数式表示) . (2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润?如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润,此时篮球的售价应定为多少元?
8000元不是每月最大利润，最大月利润为9000元，此时篮球的售价为70元.
某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为______件；（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．
解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件）， （2）由题意得： y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）] =﹣10x2+1100x﹣28000 =﹣10（x﹣55）2+2250.∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．
1. 某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元.
2. 进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）.
y=2000-5(x-100)
w=[2000-5(x-100)](x-80)
一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)] =(10+2x)(84－4x) =－8x2+128x+840 =－8(x－8)2+1352.
解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元， 则
当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.
答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352元.
某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax²+bx-75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：由图可以看出：二次函数y=ax+bx-75过点（5,0），（7,16）,将两点坐标代入解析式即可求得：(1)y=-x2+20x-75，即y=-（x-10）2+25.
∵-1<0,对称轴x=10,
∴当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元.
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
(2)显然，当y=16时，x=7和13. 因为函数y=-x+20x-75图象的对称轴为x=10， 因此，点（7,16）关于对称轴的对称点为（13,16）, 故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.
总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本
涨价:要保证销售量≥0；降件:要保证单件利润≥0
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出