人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径优秀课件ppt

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你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
3. 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2. 理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
　 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
圆的对称性 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.
（2）如何来证明圆是轴对称图形呢？
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦， CD⊥AB，垂足为E．
【思考】左图是轴对称图形吗？
满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？
证明：连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么?
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
不是，因为CD没有过圆心
垂径定理的几个基本图形：

【思考】如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
过圆心垂直于弦平分弦平分线所对的优弧平分弦所对的劣弧
举例证明其中一种组合方法.已知:求证：
② CD⊥AB，垂足为E
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE， OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AB=2AE=16cm.
如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
设OC=x cm，则OD= x-2,根据勾股定理，得
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM，CM＝DM（垂直于弦的直径平分弦所对的弧） AM－CM＝BM－DM.∴AC＝BD.
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证: 四边形ADOE是正方形．
又　∵AC = AB,
∴ 四边形ADOE为正方形.
证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，
∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.
∴四边形ADOE为矩形，AE= AC,AD= AB.
例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
解得 R≈27.3.
即主桥拱半径约为27.3m.
R2=18.52+(R-7.23)2
OA2=AD2+OD2
5cm或12cm
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
d+h=r
1. 已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .
2. ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点. 你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE. ∴ AE－CE＝BE－DE. 即 AC＝BD.
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
∴这段弯路的半径约为545m.
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧. “知二推三”
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.