专题03 等腰三角形的有关问题-2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

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2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题03 等腰三角形的有关问题
【典型例题】
1．（2021·河北邢台·八年级阶段练习）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，CD＝AB，∠BDA＝∠B，AE是△ABD的中线．

（1）若∠BAD＝60°．
①求证：△ABD是等边三角形；
②求∠C的度数；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，若BD＝2DF，求证：AD平分∠EAC．
【答案】（1）①见解析；②（2）见解析
【分析】
（1）①根据等角对等边，即可求得,进而根据等边三角形的判定定理证明即可；②根据已知可得，根据等边对等角即可得，根据三角形的外角的性质即可求得；
（2）根据三角形的中线的定义，以及等腰三角形的性质三线合一，即可得到，结合已知条件可得，根据角平分线的判定定理即可得证
【详解】
（1）①证明：∵∠BDA＝∠B，
∴
∵∠BAD＝60°
∴是等边三角形；
②解：∵CD＝AB，
∴
∴

是等边三角形


（2）如图，

∠BDA＝∠B，

AE是△ABD的中线．
，
BD＝2DF，

，
在的角平分线上，
AD平分∠EAC．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质与判定，等边对等角，角平分线的判定定理，三角形中线的定义，掌握以上知识是解题的关键．


【专题训练】
一、 填空题
1．（2021·浙江北仑·八年级期中）若等腰三角形一个内角的度数为50°，则它的顶角的度数是___________．
【答案】50°或80°
【分析】
由题意可知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．
【详解】
解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．

有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°．
故答案为：50°或80°．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，熟练掌握相关知识和正确地进行分类讨论是解答此题的关键．
2．（2021·湖北·安陆市陈店乡初级中学八年级阶段练习）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______．
【答案】15
【分析】
分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【详解】
解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、6，
∵3+3=6，
∴此时不能组成三角形；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、6、6，
此时能组成三角形，
所以，周长=3+6+6=15，
综上所述，这个等腰三角形的周长是15．
故答案为15．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质，解题关键在于要分情况讨论．
3．（2021·江苏·景山中学八年级阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为____．
【答案】65°或25°
【分析】
本题已知没有明确三角形的类型，所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．
【详解】
解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为40°，则顶角是50°，因而底角是65°；
如图所示：当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD=40°，BD⊥CD，
故∠BAD=50°，
所以∠B=∠C=25°

因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°．
故填25°或65°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形的高线，可能在三角形的内部，边上、外部几种不同情况，因而，遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论．
4．（2021·江苏仪征·八年级期中）如图，△ABC中，∠A＝40°，∠C＝20°，线段BC的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝______．

【答案】
【分析】
依据三角形内角和定理即可得到∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的的性质，即可得到∠DBC的度数，进而得出结论．
【详解】
解：∵∠A=40°，∠C=20°，
∴∠ABC=180°-40°-20°=120°，
∵线段BC的垂直平分线DE交AC于点D，
∴DB=DC，
∴∠DBC=∠C=20°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=120°-20°=100°，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
5．（2021·江苏南通·八年级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DEAB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是 ___．

【答案】2
【分析】
根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，等量代换得到∠DBE＝∠BDE，得到DE＝BE，于是得到结论．
【详解】
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DEAB，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∵BE＝2，
∴DE＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，求得是解题的关键．
6．（2021·山东省日照市实验中学八年级期中）在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是___．

【答案】4
【分析】
作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，CE+EF的最小值C'F的长．
【详解】
解：如图：作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，
∴CE+EF＝C'E+EF≥C'F，
∴CE+EF的最小值C'F的长，
∴CC'⊥BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠C'BG＝∠GBC，
在△C'BG和△CBG中，
，
∴△C'BG≌△CBG（ASA），
∴BC＝BC'，
∵AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝30°，BC'＝8，
在Rt△BFC'中，C'F＝8×＝4，
∴CE+EF的最小值为4．
故填：4．

【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路线的问题、角平分线的性质以及含30度直角三角形的性质等知识点，正确添加辅助线并灵活运用角平分线的性质成为解答本题的问题．
二、解答题
7．（2021·云南昭通·八年级期中）已知在△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD，BE平分∠ABC，交AC于点E．

（1）求证：∠ABC＝2∠C；
（2）若AD平分∠BAC，求∠BAD的度数．
【答案】（1）见解析；（2）36°
【分析】
（1）由AB=AD=CD，易得∠DAC=∠C，由三角形的外角的性质，可求得∠ADB=2∠C，继而可得∠ABC=2∠C；
（2）首先设∠BAD=x°，然后表示出∠C，∠BAC，∠ABC的度数，即可得方程：2x+2x+x=180，解此方程即可求得答案．
【详解】
（1）证明：∵AD=DC，
∴∠DAC=∠C，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=2∠C，
∵AB=AD，
∴∠ABC=∠ADB，
∴∠ABC=2∠C；
（3）设∠BAD=x°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD=2x°，∠CAD=∠BAD=x°，
∵AD=CD，
∴∠C=∠DAC=x°，
∴∠ABC=2∠C=2x°，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴2x+2x+x=180，
解得：x=36，
∴∠BAD=36°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
8．（2021·宁夏·石嘴山市星海中学（石嘴山市第三中学星海分校）八年级期中）如图，△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB、AC边．
（1）若∠B＝30°，∠C＝40°，求∠MAN的度数；
（2）若BC＝8cm，求△AMN的周长．

【答案】（1）40°；（2）8cm
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质可得AM=BM，AN=CN，则∠BAM=∠B=30°，∠CAN=∠C=40°，再由三角形外角的性质可得∠AMN=∠BAM+∠B=60°，∠ANM=∠C+∠CAN=80°，最后根据三角形内角和定理求解即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得AM=BM，AN=CN，则△AMN的周长=AM+MN+AN=BM+MN+CN=BC．
【详解】
解：（1）∵△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB、AC边，
∴AM=BM，AN=CN，
∴∠BAM=∠B=30°，∠CAN=∠C=40°，
∴∠AMN=∠BAM+∠B=60°，∠ANM=∠C+∠CAN=80°，
∴∠MAN=180°-∠AMN-∠ANM=40°；
（2）∵△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB、AC边，
∴AM=BM，AN=CN，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=BM+MN+CN=BC=8cm

【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能熟练掌握线段垂直平分线的性质．
9．（2021·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校八年级期中）如图，点D、E在△ABC的边上，AD＝AE，BD＝CE．

（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC和△ADE以外的所有等腰三角形．
【答案】（1）证明见解析；（2）△ABD、△AEC、△ABE、△ADC
【分析】
（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD=AE，根据等腰三角形的三线合一，可得DF=EF，又由BD=CE，可得BF=CF，从而可证得AB=AC．
（2）根据等腰三角形的判定解答即可．
【详解】
（1）证明：过点A作AF⊥BC于点F，如下图：

∵AD=AE，AF⊥BC，
∴DF=EF，
∵BD=CE，
∴BD+DF=EF+CE
即：BF=CF，
又∵AF⊥BC，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=（180°－108°）÷2=36°．
同理∠ADE=∠AED=72°，
∴∠BAD=∠ADE－∠B=72°－36°=36°，
∴∠B=∠BAD=36°，
∴△ABD是等腰三角形；
同理∠EAC=∠C=36°，
∴△AEC是等腰三角形；
∵∠BAD=36°，∠DAE=36°，
∴∠BAE=∠BEA=72°，
∴△ABE是等腰三角形；
同理∠CAD=∠CDA=72°，
∴△ADC是等腰三角形．
综上所述：除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质．能够掌握辅助线的作法，熟练应用数形结合思想是解题的关键．
10．（2021·云南昭通·八年级期中）在课堂上，老师布置了一道思考题：如图1，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q．

（1）求证：∠BQM＝60°；
（2）如图2，若将图1中的点M，N分别移动到BC、CA的延长线上，且BM＝CN，连接BN，AM，MA的延长线交BN于点Q（1）中的结论∠BQM＝60°是否仍然成立？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析
【分析】
（1）可证明△ABM≌△BCN，可求得∠BAM＝∠CBN，再利用外角的性质可证∠BQM＝60°；
（2）和（1）同样的求法可得，然后利用三角形外角的性质求∠BQM＝60°．
【详解】
解：（1）证明：∵是正三角形，
∴，
∴．
在和中，

∴，
∴，
∴．
（2）成立．
理由：∵是三角形，
∴，
∴．
∵，
∴．即．
在和中，

∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质，综合利用了三角形外角的性质，解题关键是掌握全等三角形的判定方法．
11．（2021·江苏南通·八年级期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（90°＜α＜180°）．
（1）AC边上的高 　 　AB边上的高（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）如图2，若点D，E分别在边AC，AB上，且CE＝BD，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明：如果不相等，请说说理由；
（3）若点D在边AC上，点E在边BA的延长线上，且CE＝BD，当α＝120°时，请直接写出线段AE，AD，AB之间的数量关系．

【答案】（1）＝；（2）AE＝AD，理由见解析；（3）AE﹣AD＝AB，理由见解析．
【详解】
（1）设AC边上的高为h1，AB边上的高为h2，利用面积法证明即可；
（2）结论：AE＝AD．如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于N．证明Rt△CME≌Rt△BND（HL），可得结论；
（3）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝AB．证出AT＝AC，可得结论．
解：（1）过B作BM⊥CA延长线于M，过C作CN⊥BA延长线于N，
设AC边上的高为BM，AB边上的高为CN，
∵S△ABC＝•AC•OM＝•AB•ON，AB＝AC，
∴OM＝ON，
故答案为：＝；

（2）结论：AE＝AD．
理由：如图（2）中，过点C作CN⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BM⊥CA交CA的延长线于M．
∵∠M＝∠N＝90°，
在△ABM和△CAN中

∴△ABM≌△ACN（AAS），
∴BM＝CN，AM＝AN，
∵∠M＝∠N＝90°，
在Rt△BMD和Rt△CNE中

∴Rt△BMD≌Rt△CNE（HL），
∴MD＝NE，
∵AM＝AN，
∴AE＝AD．

（3）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝AB．
理由：在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，由（2）得AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．
∵CE′＝BD，CE＝BD，
∴CE＝CE′，
∵CT⊥EE′，
∴ET＝TE′
∵AT=E′T-AE′=ET-AD
∴AE=AT+AT+AD=2AT+AD，，
∵∠BAC=120°，
∴∠EAC=180°-∠BAC=180°-120°=60°，
∵CT⊥AE，
∴∠TCA=90°-∠TAC=90°-60°=30°，
∴AT＝AC，
∵AB＝AC，
∴AE﹣AD＝2AT＝AB．

【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，三角形面积，三角形全等判定与性质，30°直角三角形性质，线段和差，掌握等腰三角形的性质，三角形面积，三角形全等判定与性质，30°直角三角形性质，线段和差是解题关键．
12．（2021·福建顺昌·八年级期中）如图，将一块含有30°的直角三角板放置在平面直角坐标系中，∠OAB=60°，已知点A的坐标为（3，0）．点P、Q分别是x轴和线段AB上的动点，它们同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度从点A向x轴的负方向运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B向点A运动，设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示AP= ；AQ= ．
（2）当t为何值时，△APQ是等边三角形；
（3）若△APQ是直角三角形，求点P的坐标．

【答案】（1）2t，6-t ；（2）2；（3）P的坐标为（﹣3，0）或（，0）
【分析】
（1）由题意知OA＝3，直角三角形中30°所对的边是斜边的一半，得出AB的长度，得到AP＝2t，BQ＝t，AQ＝AB－BQ即可得出答案；
（2）由等边三角形的判定得AP=AQ，即可得出答案；
（3）分两种情况去讨论当PQ⟘AB时和当PQ⟘OA时，分别计算即可．
【详解】
解：（1）∵A(3，0)
∴OA＝3，
∵∠OAB＝60°，OA⟘OB，
∴∠OBA＝30°，
∴AB＝2OA＝6，
∵点P以每秒2个单位长度的速度从点A向x轴的负方向运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B向点A运动，设运动时间为t秒，
∴AP＝2t，BQ＝t，AQ＝AB－BQ＝6－t，
故答案为：2t；6-t．
（2）由（1）可知，
AP＝2t，AQ＝6－t，
要使△APQ是等边三角形则AP＝AQ，
∴2t＝6-t
即t＝2
∴当t＝2时，△APQ是等边三角形；
（3）若△APQ是直角三角形，有两种情况：
①当PQ⟘AB时，∠QPA=30°，如图

AP＝2AQ，即2t=2(6-t)
解得：t＝3，此时AP＝6＞3，点P在x轴的负半轴，
∴OP＝AP－OA＝6－3＝3，
∴P（﹣3，0），
②当PQ⟘OA时，∠PQA＝30°，如图

AQ＝2AP，即6-t＝2∙2t
解得：t=，AP＝，点P在x的正半轴，
OP＝OA －AP＝，
此时P（，0），
综上所述：当△APQ是直角三角形时，P的坐标为（﹣3，0）或（，0）．
【点睛】
本题考查了坐标轴上动点问题，直角三角形中30°所对的边是斜边的一半，等边三角形的判定，直角三角的分类讨论情况，熟练各性质定理是解题的关键．
13．（2021·广西·河池市宜州区教育局教学研究室八年级期中）如图，在等边△ABC中，AB=6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）当t为何值时，M、N两点重合；
（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．当t为何值时，△AMN是直角三角形；
（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，直接写出t的值．

【答案】（1）6秒；（2）或；（3）8秒
【分析】
（1）首先设点、运动秒后，、两点重合，表示出，的运动路程， 的运动路程比的运动路程多，列出方程求解即可；
（2）分别就和列方程求解可得；
（3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出，的长，列出方程，可解出未知数的值．
【详解】
解：（1）设点、运动秒后，、两点重合，
，
解得：，
∴当、运动6秒时，点追上点，即M、N两点重合；
（2）当点在上运动时，如图2，

若，
， ，
，
，
，即，
解得；
如图3，若，

由得，
解得．
综上所述，当为或时， 是直角三角形；
（3）当点、在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时、两点重合，恰好在处，
如图4，假设是等腰三角形，

，
，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，， ，
，
，
，
解得，符合题意．
所以假设成立，当、运动8秒时，能得到以为底的等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和直角三角形的定义与性质，设出未知数，理清线段之间的数量关系是解题的关键．
14．（2021·江苏南通·八年级期中）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D，B，C在同一条直线上，AH⊥BC于点H．
①求证：AH＝BC；
②求∠DCE的度数．
（2）在△MNQ中，MN＝MQ，∠NMQ＝90°，在平面内有一点P，满足PQ＝3，PN＝7，∠NPQ＝90°，请直接写出点M到NP的距离．

【答案】（1）①见解析；②∠DCE＝90°；（2）点M到NP的距离为2或5．
【分析】
（1）①由“AAS”可证△ABH≌△CAH，可得结论；
②由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得∠ABD＝∠ACE，即可求解；
（2）分两种情况讨论，由全等三角形的性质及（1）的结论可求出答案．
【详解】
（1）①证明：∵AH⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠AHC＝90°＝∠BAC，
∴∠BAH+∠CAH＝90°，∠BAH+∠B＝90°，
∴∠CAH＝∠B，
在△ABH和△CAH中，
，
∴△ABH≌△CAH（AAS），
∴BH＝AH，AH＝CH，
∴AH＝BC．
②解：∵∠DAB+∠BAE＝90°，∠EAC+∠BAE＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD＝135°，
∴∠DCE＝90°；
（2）如图1，过点M作MH⊥NP于点H，连接MP，作∠PMD＝90°，交NP于点D，


∴∠NMQ＝∠DMP＝90°，
∴∠NMD＝∠QMP，
∵∠NDM＝∠MPQ＝90°+∠MPD，
∴△MPQ≌△MDN（AAS），
∴ND＝QP＝3，
∴DP＝NP﹣ND＝7﹣3＝4，
∵MH⊥DP，
∴MH＝DP＝2；
如图2，过点M作MH⊥NP于点H，作∠PMD＝90°，交PN的延长线于点D，


∴∠NMQ＝∠DMP＝90°，
∴∠NMD＝∠QMP，
∵∠NMQ＝90°，∠NPQ＝90°，
∴∠MQP+∠MNP＝180°，
∴∠MQP＝∠MND，
∵MN＝MQ，
∴△MPQ≌△MDN（AAS），
∴ND＝QP＝3，
∴DP＝NP+ND＝7+3＝10．
∵MH⊥DP，
∴MH＝DP＝5．
综上所述：点M到NP的距离为：2或5．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．（2021·吉林·永吉县教师进修学校八年级期中）在中，∠BAC＝90°，，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE（，），连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，猜想：BC与CE的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）题的结论是否仍然成立？说明理由；
（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，结论（1）题的结论是否仍然成立？不需要说明理由．

【答案】（1）BC⊥CE，见解析；（2）成立，见解析；（3）成立
【分析】
（1）先证∠2=∠3，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠4=∠5，求出∠4=∠6=45°，∠5=45°即可；
（2）先证∠2=∠3，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠ABD=∠ACE，求出∠ABC=∠ACB=45°，得出∠ABD=∠ACE=135°即可；
（3）先证∠BAD=∠CAE，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠ABD=∠ACE，再求∠ABC=∠ACB=45°，得出∠ABD=∠ACE=45°．
【详解】
解：（1）BC与CE的位置关系是BC⊥CE，理由是：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠1=∠DAE-∠1，
即∠2=∠3，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠4=∠5，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠4=∠6=45°，
∴∠5=45°，
∴∠BCE=∠5+∠6=45°+45°=90°，
即BC⊥CE；

（2）成立.理由是：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠1=∠DAE-∠1，
即∠2=∠3，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD=∠ACE=135°，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=135°-45°=90°，
即BC⊥CE；


（3）成立
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°．

【点睛】
本题考查图形变换中结论问题，等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角的和差运用，直线位置关系，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角的和差运用，直线位置关系垂直的证法是解题关键．