专题09 一次函数与几何问题的综合应用-2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

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2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题09 一次函数与几何问题的综合应用
【典型例题】
1．（2021·黑龙江·巴彦县第一中学八年级期中）在平面直角坐标系中，AB交y轴和x轴于A、B两点，点和，且m，n满足．

（1）求点A、B的坐标；
（2）过点A作，截取，点D在第一象限内，过点D作轴于C，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿y轴向下运动，连接DP、DO，若P点运动的时间为t，三角形PDO的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，连接AC，在坐标平面内是否存在点M，使与全等，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（0，4），B（-3，0）；（2）当0≤t＜2时，S=；当t＞2时，S=；（3）存在，M（3，0）或M（0，3）或M（1，4）
【分析】
（1）解二元一次方程组求出m和n的值，即可求出点A、B的坐标；
（2）根据题意当0≤t＜2和t＞2时，分别表示出OP的长度，然后根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据题意分3种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】
（1）解：，解得，
∴A（0，4），B（-3，0）．
（2）作DH⊥AO于H，

∵∠DAH+∠ADH=90°，∠DAH+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠ADH．
在△DAH和△ABO中，
，
∴△DAH≌△ABO（AAS），
∴DH=AO=4，AH=BO=3，DC=OH=1．
∴①当0≤t＜2时，
∵AP=2t，OP=4-2t，
∴S=．
②当t＞2时，

∵AP=2t，OP=2t-4，
∴S=．
（3）∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=45°．
∵∠DCO=90°，
∴∠DCA=45°．
∴如图所示，当△ACD≌△ACM时，∠ACM=∠ACD=45°，

∴∠DCM=90°，
∴点M在x轴上．
∵DC=CM=1，
∴OM=3，
∴M（3，0）．
当△ACD≌△CAM时，点M在y轴上时，∠ACD=∠CAM=45°，
∵AM=CD=1，
∴OM=3，
∴M（0，3）．
当△ACD≌△CAM时，点M在第一象限时，∠ACD=∠CAM=45°，
∴∠OAM=90°，
∴AM⊥y轴．
∵AM=CD=1，
∴M（1，4）．
【点睛】
此题考查了全等三角形的性质和判定，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，解二元一次方程组的方法．


【专题训练】
一、 解答题
1．（2021·辽宁北镇·八年级期中）如图，直线y＝kx+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且AB＝2．
（1）求点A的坐标；
（2）求k的值；
（3）C为OB的中点，过点C作直线AB的垂线，垂足为D，交x轴正半轴于点P，试求点P的坐标及直线CP的函数表达式．

【答案】（1）；（2）；（3），直线CP的解析式为
【分析】
（1）由题意可把x=0代入直线解析式求得点B的坐标，则有OB=4，然后根据勾股定理可得OA=2，则可得点A的坐标；
（2）由（1）可把点A的坐标代入解析式求解即可；
（3）由题意易得OC=OA=2，然后可证△AOB≌△COP，进而可得OP=OB=4，最后问题可求解．
【详解】
解：（1）把x=0代入直线y＝kx+4可得：y＝4，
∴，
∴OB=4，
在Rt△AOB中，AB＝2，由勾股定理可得：，
∴；
（2）由（1）可把点代入直线y＝kx+4得：
，解得：；
（3）∵点C为OB的中点，OB=4，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵∠AOB=∠COP=90°，
∴△AOB≌△COP（AAS），
∴OP=OB=4，
∴，
设直线CP的解析式为，则把点，代入得：
∴，解得：，
∴直线CP的解析式为．
【点睛】
本题主要考查一次函数与几何的综合及勾股定理，熟练掌握一次函数与几何的综合及勾股定理是解题的关键．
2．（2021·福建大田·八年级期中）如图，以长方形OABC的顶点O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（10，8），动点D的坐标为，E是线段AB上的一动点．

（1）若点D恰好落在BC边上，求点D的坐标．
（2）点C，D，E能否构成以点D为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出此时a的值；若不能，请说明理由．
（3）连接OD，求线段OD的最小值．
【答案】（1）点D的坐标为（6，8）；（2）能，的值为或3；（3）当线段OD与直线y＝2x-4垂直时，线段OD的值最小值，最小值是．
【分析】
（1）根据点D恰好落在BC边上列方程求解即可；
（2）分点D在BC上下两侧，证明△CDM≌△DEN，根据全等三角形的性质求解即可，
（3）求得点D在直线y＝2x-4的图象上，求出直线y＝2x-4与x，y轴交点坐标，根据垂线段最短可求出OD的最小值．
【详解】
解：（1）∵点B的坐标为（10，8），点D恰好落在BC边上，
∴，即a=7，
∴点D的坐标为（6，8）；
（2）能
如图1，过点D作MN⊥y轴，交于点M，交AB延长线于点N，

∴∠CMD=∠DNE=90︒，且∠CDM+∠DCM=90︒，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，∠CDE=90°，∠CDM+∠EDN=90°，
∴∠EDN=∠DCM，
∴△CDM≌△DEN
∵点B的坐标为（10，8），动点的坐标为，
∴DM=a-1，CM=DN=10-(a-1)=11-a，
∴OM=OC+CM=8+11-a=2a-6，
解得.
如图2，过点D作MN⊥y轴，交于点M，交AB于点N，

∴∠CMD=∠DNE=900，且∠CDM+∠DCM=90°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，∠CDE=90°，∠CDM+∠EDN=90°，
∴∠EDN=∠DCM，
∴△CDM≌△DEN
∵点B的坐标为（10，8），动点的坐标为，
∴DM=a-1，CM=DN=10-(a-1)=11-a，
∴OM=OC-CM=8-(11-a)=2a-6，
解得a=3
∴存在，此时的值为或3.
（3）设D（x，y）
∵点D的坐标为，
∴
∴点D在直线y＝2x-4的图象上，
设直线y＝2x-4与坐标轴的交点为P，Q，如图，

对于直线y＝2x-4，当x=0时y=-4；当y=0时，x=2，
∴OP=2，OQ=4
由勾股定理得，，
∴当线段OD与直线y＝2x-4垂直时，线段OD的值最小值，
∵
∴
即线段OD的最小值是.
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求函数解析式以及利益轴对称求最短路线和勾股定理等知识，注意求线段的和最小的问题基本的解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题．
3．（2021·山东省青岛第六十三中学八年级期中）如图，直线l1：y1=-x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P(m，3)为直线l 1上一点，另一直线l2：y2=x+b过点P．
（1）求点P坐标和b的值；
（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动至 A，设点Q的运动时间为t秒．
①请写出当点Q在运动过程中，APQ的面积S与t的函数关系式；
②是否存在t的值，使APQ面积为APC的一半？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
③是否存在t的值，使APQ为以AQ为底的等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）P(，3)，；（2）①；②存在，；③存在，
【分析】
（1）将点P(m，3)代入y1=-x+2求出的值，即点P(，3)，然后将之代入y2=x+b即可求出的值；
（2）①根据两个函数解析式求出的坐标，然后表示出的长度，根据三角形面积公式计算即可；
②根据的坐标求出APC的面积，然后将APC的面积的一半代入①中关系式求解即可；
③APQ为以AQ为底的等腰三角形，即，过点作轴于点，根据题意得出的长度进而得解．
【详解】
解：（1）∵点P(m，3)为直线l 1上一点，
∴，
解得：，
∴P(，3)，
∵y2=x+b过点P，
∴，
解得：；
（2）①由（1）得：y2=x+，
点时，，
解得：，
∴点，
当时，，
解得，
∴点，
根据题意：点
∴，
∴，
即；
②,
∴
解得：，
∴时，APQ面积为APC的一半；
③根据题意可知，过点作轴于点，

∵P(，3)，，
∴，
∴，
∴,
∴,
∴，
∴当时，APQ为以AQ为底的等腰三角形．
【点睛】
本题考查了一次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点问题以及相关性质是解本题的关键．
4．（2021·江苏·无锡市太湖格致中学八年级阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（8，0）、B（0，－6），动点P的坐标为（a，－a＋1）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接BP，若直线BP将△AOB的面积分成1∶3的两部分，求此时P点的坐标．
（3）若连接AP、BP，将△ABP沿着直线AP翻折，使得点B翻折后的对应点落在第四象限，求a的取值范围．

【答案】（1）y＝x－6；（2）（，－） （，－）；（3）4＜a＜
【分析】
（1）设直线AB的函数表达式为y=kx+b（k≠0），把点A（8，0）、B（0，－6）代入得到二元一次方程组，解之求得k，b的值，即可得到直线AB的函数表达式；
（2）由题意知直线BP将△AOB的面积分成1∶3的两部分，设直线AP交x轴于点M，若S△OBM∶S△AOB=1∶4，则直线BM经过(2，0)，设直线BM的解析式为y=mx+n，把点B(0,－6)，(2，0)代入即可求出直线BM的解析式，再把P(a，－a＋1)代入即可求出a的值，从而得到P点的坐标；若S△ABM∶S△AOB=1∶4，则直线BM经过(6，0)，设直线BM的解析式为y=mx+n，把点B(0，－6)，(6，0)代入即可求出直线BM的解析式，再把P(a，－a＋1)代入即可求出a的值，从而得到P点的坐标．
（3）令x=a，y=-a+1，则y=-x+1，点P在定直线y=-x+1上运动，根据将△ABP沿着直线AP翻折，使得点B翻折后的对应点落在第四象限，可知点P在y=-x+1与直线AB交点坐标与AP为∠BAO外角的角平分线时和直线y=-x+1的交点坐标之间移动，求得两个交点坐标即可得出答案．
【详解】
解：（1）设直线AB的函数表达式为y=kx+b（k≠0），把点A（8，0）、B（0，－6）代入得
，
解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝x－6；
（2）
∵直线BP将△AOB的面积分成1∶3的两部分，设直线AP交x轴于点M，
∴①若S△OBM∶S△AOB=1∶4，则直线BM经过(2，0)，设直线BM的解析式为y=mx+n，把点B(0，－6)，(2，0)代入，得
，
解得，
∴直线BM的解析式为y=3x-6，
把P(a，－a＋1)代入，得
3a-6=-a+1，
解得a=，
∴-a+1=，
∴点P的坐标为（，－）；

②若S△ABM∶S△AOB=1∶4，则直线BM经过(6，0)，设直线BM的解析式为y=mx+n，把点B(0，－6)，(6，0)代入，得
，
解得，
∴直线BM的解析式为y=x-6，
把P(a，－a＋1)代入，得
a-6=-a+1，
解得a=，
∴-a+1=，
∴点P的坐标为（，－），
综上所述，点P的坐标为(，－）)，(，－)；
（3）
令x=a，y=-a+1，则y=-x+1，
∴点P在定直线y=-x+1上运动，联立，
解得，
∵将△ABP沿着直线AP翻折，使得点B翻折后的对应点落在第四象限，
∴a>4，
∵点A（8，0）、B（0，－6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB=，
当AP为∠BAO外角的角平分线时，点B关于AP的对称点坐标为C(18，0)，
此时AP过线段BC的中点，设线段BC的中点为点D，则点D的坐标为，即点D(9，-3)，
设AP的解析式为y=kx+b（k≠0），把点A（8，0）、(9，-3)代入得
，
解得，
∴AP的解析式为y=-3x+24，
联立，
解得，
∴a<，
综上所述，a的取值范围4＜a＜．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数的性质，勾股定理，两点间的距离公式．利用数形结合思想是解题的关键．
5．（2021·福建·厦门市第五中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A(-2，0)，B(2，0)，点C是y轴正半轴上一点，点P在BC的延长线上．
（1）若点P的坐标为(-1，2)，
①求△PAB的面积；
②已知点Q是y轴上任意一点，当△PAQ周长取最小值时，求点Q的坐标；
（2）连接AC，若∠APC＝∠ACP，∠APC比∠PAB大20°，求∠ABC的度数．

【答案】（1）①4；②Q(0，)；（2）．
【分析】
（1）①的底为AB，高为P点的纵坐标，结合三角形面积公式求值即可；
②根据两点间直线最短和轴对称的性质可知点C为Q点时△PAQ周长最小，设经过点B和点P的直线解析式为，利用待定系数法求出解析式，再令x=0，求出y的值，即求出点Q坐标．
（2）根据题意可知y轴为线段AB的垂直平分线，即得出．再根据三角形外角性质可得出，即推出．根据题意可求出．最后在中利用三角形内角和定理即可求出最后答案．
【详解】
（1）①根据题意可知，
∴；
②根据题意可知点A和点B关于y轴对称，即BP与y轴的交点即为点Q时，△PAQ周长最小，此时点Q和点C重合．
∴求出点C坐标即可．
设经过点B和点P的直线解析式为，
∵B(2，0)、P(-1，2)，
∴，解得：，
∴该解析式为．
当时，，
∴C点坐标为(0，)，即Q(0，)．
（2）如图，

根据题意可知，，
即O点为AB的中点，
∴y轴为线段AB的垂直平分线，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴
∵在中，即，
∴，
解得：．
【点睛】
本题考查轴对称的性质，线段垂直平分线的判定和性质，一次函数的实际应用，三角形外角性质，三角形内角和定理，综合性强．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
6．（2021·重庆一中八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线，与x轴，y轴交于点，直线与直线交于点D，直线过点A，与y轴交于点C，点C的纵坐标是．

（1）求直线的解析式；
（2）在直线上是否存在点P，点P在直线的左侧，使得，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，点Q是线段的动点，过点Q做轴，交直线与点M，在x轴上是否存在点N，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，；（3）存在，N（-，0）或（，0）或（，0）．
【分析】
（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解；
（2）设直线AC交直线x=-1于点F，则F（-1，-2），设，由，得到，代入公式计算即可；
（3）过点Q作x轴，QN1⊥x轴，过点M作MN3⊥x轴，作∠QN2M=90°交x轴于N2，求出直线PD的解析式，设Q（），得到，根据为等腰直角三角形，分三种情况：若∠NQM=90°，则N与N1重合， 若∠NMQ=90°，则N与N3重合，MN3=QM，若∠QNM=90°，则N与N2重合，依据等腰直角三角形的性质列方程求出t的值即可得到点N的坐标．
【详解】
解：（1）令y=-x+3中y=0，解得x=3，
∴A（3,0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（3,0），C（0，）代入，
得，解得，
∴直线AC的解析式为，
（2）存在，
设直线AC交直线x=-1于点F，则F（-1，-2），
∵直线与直线交于点D，
∴D（-1,4），
∵直线y=-x+3，与y轴交于点B，
∴B（0,3），
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
解得a=-6，
∴；

（3）存在
过点Q作x轴，QN1⊥x轴，过点M作MN3⊥x轴，作∠QN2M=90°交x轴于N2，
设直线PD解析式为y=mx+n，将，D（-1,4）代入，
得，解得，
∴直线PD解析式为，
设Q（），
∵轴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
若∠NQM=90°，则N与N1重合，∴QN1=QM，
∴，
∴t=-，
∴N1（-，0）；
若∠NMQ=90°，则N与N3重合，∴MN3=QM，
∴，
∴t=-，
∴，
∴N3（，0）；
若∠QNM=90°，则N与N2重合，
∴
得，
∴，
∴N2（，0）；
综上，存在，N（-，0）或（，0）或（，0）．

【点睛】
此题考查的是一次函数的综合题，一次函数与几何图形的面积，待定系数法求函数解析式，以及等腰直角三角形的性质的应用，综合掌握各知识点并应用是解题的关键．
7．（2021·山东历下·八年级期中）如图1，直线l1：y＝kx与直线l2：y＝﹣x＋b相交于点A（4，3），直线l2：y＝﹣x＋b与x轴交于点B，点E为线段AB上一动点，过点E作EF∥y轴交直线l1于点F，连接BF．

（1）求k、b的值；
（2）如图2，若点F坐标为（8，6），∠OFE的角平分线交x轴于点M．
①求线段OM的长；
②点N在直线l1的上方，当△OFN和△OFM全等时，直接写出点N的坐标．
【答案】（1），；（2）①OM=5；②或
【分析】
（1）分别将将代入和中，求解即可；
（2）①设直线AB与y轴交与点C，与FM交于点D,证明△AFD≌△EFD，得到AD=ED，利用中点坐标公式求得点D坐标，用待定系数法求得直线FD的函数表达式，令,即可求得点M的坐标，从而求得OM；
②点N在直线l1的上方，当△OFN和△OFM全等时，满足题意的点N有两个，分别画出相关的图形，分类讨论求解即可．
【详解】
解：（1）∵直线l1：和直线l2：相交于点A
∴将代入中，得：
解得：
∴将代入中，得：
解得：

∴
（2）① 设直线AB与y轴交与点C，与FM交于点D,如下图：

∵，
∴直线l1的函数表达式为，直线l2的函数表达式为
∵
∴
设直线AB与y轴交与点C，与FM交于点D
则
∴
∴
∴∠OCA=∠OAC
∵轴
∴∠OCA=∠FEA
又∵∠OAC=∠FAE
∴∠FAE=∠FEA
∴FA=FE
又∵FM是∠OFE的角平分线
∴∠AFM=∠EFM
又∵FD=FD
∴△AFD≌△EFD
∴AD=ED
∴点D为AE的中点
∵轴
∴点F和点E的横坐标相同
将代入中，得
∴
∵，
∴
设线段FM所在的直线函数表达式为
将代入中，得：
解得：
∴线段FM所在的直线函数表达式为
令，得
解得：
∴
∴OM=5
② 当全等时，有两种情况，情况一，如下图所示：

∵
∴∠OFN=∠FOM，FN=OM,ON=FM
∴
∵OM=5
∴FN=5,
∴,
∴
情况二，当△OMF和△ONF关于直线l1对称时，如下图所示：

∵
∴ON=OM=5，∠NOF=∠MOF
∵OP=OP
∴△NOP≌△MOP
∴PN=PM
∵
∴
又∵
∴
∴
∴MN=2PM=6，OP=
∵
∴
∴
∴
综上所述，满足题意点有两个，分别是：或
【点睛】
本题考查用待定系数法求一次函数表达式，三角形全等的性质和证明，两条直角交点的求法以及三角形的等面积法等知识点，牢记相关内容并能灵活应用数形结合思想解题是本题的关键．
8．（2021·重庆市第十一中学校八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝2x＋4分别交x轴、y轴于点A、B，经过点B的直线y＝﹣x＋b交x轴于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）动点P在射线AB上运动，过点P作PH⊥x轴，垂足为点H，交直线BC于点Q，设点P的横坐标为t．线段PQ的长为d（d≠0）．求d关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当点P在线段AB上时，连接CP，若S△CPQ＝，在线段BC上取一点M．连接PM，使∠BPM＋2∠ABO＝90°，问在x轴上是否存在点R，使△PMR是以∠PMR为直角的直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）(4，0)；（2）；（3）(，0)
【分析】
（1）先求得A(-2，0)，B (0，4)，利用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝x＋4，即可求解；
（2）设P(t，2t+4)，则Q(t，-t+4)，分t>0和t<0两种情况讨论即可求解；
（3）作直线AB关于轴的对称直线BD，得到PM⊥BD，利用三角形面积公式求得点G的坐标，利用待定系数法分别求得直线PM、MR的解析式，即可求解．
【详解】
解：（1）∵直线分别交x轴、y轴于点A、B，
∴A(-2，0)，B (0，4)，
∵直线y＝x＋b经过点B(0，4)，
∴，
∴直线BC的解析式为，
∴直线BC与x轴的交点C的坐标为(4，0)；
（2）∵点P在射线AB上，点Q在射线BC上，
∴设P(t，2t+4)，则Q(t，-t+4)，
当t>0，即点P在点Q上方时，
d=2t+4-(-t+4)=3t；
当-2 d=-t+4-(2t+4)=-3t；
综上，；
（3）存在，理由如下：
∵点P在线段AB上时，即t<0，

∴d=-3t，
∴，
∴，
解得：(舍去)或，
∴P(-1，2)，则Q(-1，5)，
作直线AB关于轴的对称直线BD，交PM于点G，如图：

∴直线BD的解析式为，
∴∠ABO=∠DBO，即∠ABD=2∠ABO，
∵∠BPM＋2∠ABO＝90°，即∠BPM＋∠ABD＝90°，
∴PM⊥BD，
过点P作PI⊥轴交轴于点J，交BD于点I，过点G作GK⊥PI于点K，
则点P与点I关于轴对称，
∵P(-1，2)，B (0，4)，
∴I(1，2)，J (0，2)，
∴BP=BI=，
∵，
∴，
GI=，
∵，
∴GK=，
∴点G的纵坐标为，
∵，解得x=，
∴点G的坐标为(，)，
设直线PM的解析式为，
∴，解得：，
∴直线PM的解析式为，
解方程组，得，
∴点M的坐标为(，)，
∵△PMR是以∠PMR为直角的直角三角形，
∴MR∥BD，
∴设直线MR的解析式为，
把点M的坐标为(，)代入得：，
解得，
∴直线MR的解析式为，
令，则，即，
∴点R的坐标为(，0)．
【点睛】
本题是一次函数的综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称等知识，综合性强，难度较大．添加辅助线构造直角三角形，运用方程思想是解题关键．
9．（2021·辽宁本溪·九年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：分别与y轴、x轴交于AB两点，直线AC交x轴于点C，且满足．
（1）求直线AC的表达式；
（2）如图2，若点P为线段AC上一个动点，过点P作轴，垂足为D，PD与直线AB交于点Q，当的面积等于7时，求点P的坐标；
（3）如图3，在（2）同的条件下，将沿x轴向右平移，记平移后的为，连接，，当为直角三角形时，直接写出点的坐标．

【答案】（1）；（2）；（3）的坐标为或或
【分析】
（1）先求出A点坐标得到AO的长，故可得到C点坐标，再根据待定系数法即可求解；
（2）过A作于点E，设，则，得到PQ的长，再根据三角形的面积公式列出方程，故可求解；
（3）分AB为斜边、A为斜边，根据勾股定理列方程即可求解．
【详解】
（1）令直线AB：中x=0，得y=3
∴A（0，3）
∴OA=3
∴=6
∴C（-6，0）
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）
把A（0，3），C（-6，0）代入得
解得
∴直线AC的解析式为；
（2）过A作于点E，
设，则，
∴PQ=
∵，
∴
故
解得：，（正数舍去），
∴

（3）令中y=0，得x=1
∴B（1，0）
依题意可得（a，2）
∵A（0，3）
∴AB2=，B2=，A2=
①AB为斜边，则AB2= B2+ A2
∴10=+
解得a1=2，a2=-1，
∴的坐标为或
②A为斜边时，则A2= B2+ AB2
∴=+10
解得a=7，
∴的坐标为
综上，的坐标为或或．
【点睛】
此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质、勾股定理的应用．
10．（2021·辽宁苏家屯·八年级期中）如图1所示，直线l：y＝k（x﹣2）（k＜0）与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于点A、B两点．
（1）当OA＝OB时，求直线l的表达式；
（2）在（1）的条件下，如图2所示，设C为线段AB延长线上一点，作直线OC，过点A、B两点分别作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E，若AD＝，求BE的长；
（3）如图3所示，当K取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，以AB为底向上作等腰直角△ABP，试问：B点运动时，点P是否始终在某一直线上运动？若是，请写出该直线对应的函数表达式并说明理由；若不是，请说明理由．

【答案】（1）y=-x+2；（2）1；（3）点P在直线y=x上移动
【分析】
（1）分别求出点A，点B的坐标，根据OA=OB求出k的值即可得到结论；
（2）证明得BE=OD，再根据勾股定理求出OD的长即可；
（3）过点P作PG⊥y轴，PH⊥x轴，证明四边形PGOH是正方形，得出点P的横坐标等于纵坐标，从而可得点P在直线y=x是运动．
【详解】
解：（1）对于直线l：y＝k（x﹣2）（k＜0），当x=0,y=-2k，当y=0，x=2，
∴A（2，0），B（0，-2k）
∴OA=2，OB=-2k
∵OA=OB
∴-2k=2
∴k=-1
∴直线l：y＝k（x﹣2）=-(x-2)=-x+2
（2）∵
∴∠
∵∠
∴∠
∴∠
又∵
∴△
∴
在中，
∴
（3）过点P作PG⊥y轴，PH⊥x轴，垂足分别为G，H

∴四边形OGPH是矩形，
∴，,
在等腰直角三角形APB中，
又∠
∴∠
又∠
∴△
∴
∴矩形OGPH是正方形
∴
∴点P的横、纵坐标相等，
∴点P在直线y=x上移动．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与几何的综合，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．