2020-2021学年1.6 平面直角坐标系中的距离公式图文ppt课件

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第一章 直线与圆
1.6　平面直角坐标系中的距离公式
课标要求
1.理解两点间的距离公式，会求两点间的距离.2.探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式.3.会求点到直线的距离与两平行直线间的距离.
素养要求
通过研究两点间的距离公式、点到直线及两平行线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、两点间的距离公式1.思考　在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示　|AB|＝|xB－xA|.2.思考　已知平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？ 提示　(1)当AB与x轴平行时，|AB|＝|x2－x1|； (2)当AB与y轴平行时，|AB|＝|y2－y1|；
(3)当AB与坐标轴不平行时，如图，在Rt△ABC中，|AB|2＝|BC|2＋|AC|2，
温馨提醒　(1)两点间的距离公式中与两点的先后顺序无关.
(3)A(x1，y1)，B(x2，y2)是斜率为k的直线上的两点，则|AB|＝
A
D
二、点到直线的距离公式1.思考　当直线与坐标轴垂直时，如何求点到直线的距离？ 提示　直接由数形结合方法求点到直线的距离.
提示　(1)直线l的一个法向量为n＝(A，B).
温馨提醒　(1)在点到直线的距离公式中，直线的方程必须是一般式；(2)分子含有绝对值；(3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立.
D
B
三、两条平行直线间的距离公式1.思考　若A，B为直线l1：Ax＋By＋C1＝0上不同的两点，直线l2：Ax＋By＋C2＝0，那么A，B两点到直线l2的距离有什么关系？ 提示　A，B两点到直线l2的距离相等.
2.思考　怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离(A2＋B2≠0)?
因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，所以Ax0＋By0＋C1＝0，即Ax0＋By0＝－C1，
3.填空　两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的__________的长.
公垂线段
温馨提醒　(1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离；(2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同.
A
A
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
解　设点P的坐标为(x，0)，则有
由|PA|＝|PB|，
(2)已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状.
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形.
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形.
平面上两点间的距离公式的应用类型(1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解.(2)利用两点间距离公式可以判定三角形的形状.从三边长入手，如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形，如果满足勾股定理，则是直角三角形.
训练1 (1)已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标. (2)已知点A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5)，求证：△ABC是等腰三角形. (1)解　设点P的坐标为(x，0)，由|PA|＝10，
所以点P的坐标为(－5，0)或(11，0).
∴|AC|＝|BC|≠|AB|，又∵点A，B，C不共线，∴△ABC是等腰三角形.
故适合题意的直线方程为y－2＝－(x＋1)或y－2＝－7(x＋1)，即x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0.
解　因为点M(2，1)与点N(－3，1)到直线x＝－1的距离不相等，所以直线的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由点M(2，1)与点N(－3，1)到直线l的距离相等，得
所以直线l的方程为y＝2或2x＋y＝0.
应用点到直线的距离公式应注意以下几点：(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应化成一般式，再用公式；(2)当点P(x0，y0)在直线上时，d＝0；(3)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|；点P(x0，y0)到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
AD
例3 (1)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离； (2)求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程.
(2)由题意设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0(C≠4且C≠－2).由直线l与两条平行线的距离相等，
即|C－4|＝|C＋2|，解得C＝1.故直线l的方程为2x－3y＋1＝0.
BC
例4 两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求： (1)d的取值范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程.
故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
通过数形结合，把握住题中的已知点不动，而两条平行线可以绕点转动，我们很容易直观感受到两平行线间距离的变化情况，从而求出两平行线间的距离的取值范围.
∴点P的坐标为(2，2).(2)由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，∵kOP＝2，
训练4 (1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时点P的坐标； (2)求过点P(1，2)且与原点距离最大的直线方程. 解　(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，∴OP所在的直线方程为y＝x.
即x＋2y－5＝0.
课堂小结
1.牢记3个距离公式及其应用.2.掌握常用的方法：待定系数法，数形结合和转化的思想方法.3.辨清两个易错点：(1)已知距离求参数时易漏解； (2)两平行线间的距离公式中，两直线方程中x、y的系数分别对应相同.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
BCD
A
AD
AB
解析　由点到直线的距离公式可得
5.两平行线分别经过点A(3，0)，B(0，4)，它们之间的距离d满足的条件是(　　) A.0B
6.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线y＝3x－b上的两点，若|x2－x1|＝2，则|AB|＝________.
解析　设该直线方程为x－2y＋b＝0，
x－2y＋9＝0(答案不唯一)
解得b<－2或b>8，则该直线可为x－2y＋9＝0.
8.点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________.
8
解　由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中，
10.(1)求平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程；
解　设所求直线方程为3x＋4y＋m＝0.
所以所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.
解得c＝9或c＝－3，所以所求直线方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
AB
二、能力提升
所以n＝－4，所以l2：2x－4y－6＝0，即x－2y－3＝0，
所以m＋n＝3或m＋n＝－17.
AB
13.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点， (1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；
解　经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∵点A(5，0)到l的距离为3，
∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值.
如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).
所以符合条件的是BC选项.
BC
三、创新拓展
对于B，d2＝2<4；