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北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 圆的标准方程课文课件ppt
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这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 圆的标准方程课文课件ppt，文件包含21圆的标准方程pptx、21圆的标准方程doc等2份课件配套教学资源，其中PPT共52页， 欢迎下载使用。
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程.2.会根据已知条件求圆的标准方程，并写出圆心和半径.
通过探索圆的标准方程并运用方程解决问题，培养数学抽象及数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、圆的标准方程1.思考 如何给圆下定义？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？提示 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹)叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.确定圆的要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
提示 设圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，
2.思考 若圆心为A(a，b)，半径为r，利用两点间的距离公式，你能推导出圆的方程吗？
3.填空 已知圆C的圆心为C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为__________________________________.温馨提醒 (1)当圆心在原点O(0，0)，半径为r，则圆的标准方程为x2＋y2＝r2；(2)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上.
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
(2)以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为( )A.(x＋2)2＋(y－1)2＝4B.(x＋2)2＋(y＋1)2＝4C.(x－2)2＋(y＋1)2＝16D.(x＋2)2＋(y－1)2＝16
二、点与圆的位置关系1.思考 对于点P(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，那么点P在圆C上的充要条件是什么？提示 满足圆的方程(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.2.思考 点P(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，那么点P在圆内或圆外的充要条件是什么呢？提示 点P(x0，y0)在圆C内，则|PC|r，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
温馨提醒 点与圆的位置关系的判断实质是利用点到圆心的距离与半径的关系.
4.做一做 (1)已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0
三、圆的简单几何性质1.思考 对于圆x2＋y2＝2，该圆上任意一点P(x，y)的x与y应满足的条件是什么？
2.思考 对于圆x2＋y2＝2上的任意一点P(x，y)，关于原点的对称点(－x，－y)，关于x轴的对称点(x，－y)，关于y轴的对称点(－x，y)是否在该圆上？提示 在圆上.
3.填空 圆x2＋y2＝r2的简单几何性质(1)范围：|x|≤r，____________，(2)对称性：该圆既是关于x轴和y轴的________图形，也是关于原点的__________图形.温馨提醒 圆既是中心对称图形，又是轴对称图形.圆的对称中心为圆心，对称轴为圆的直径，圆有无数条对称轴，只有一个对称中心.
4.做一做 (1)若直线x＋y－3＝0始终平分圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的周长，则a＋b等于( )A.3 B.2C.5 D.1解析 由题意可知，圆心(a，b)在直线x＋y－3＝0上，∴a＋b－3＝0，即a＋b＝3.
(2)若圆(x－1)2＋(y－1)2＝3关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是( )A.2 B.－2C.1 D.－1解析 ∵圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，∴直线y＝kx＋3过圆心(1，1)，即1＝k＋3，∴k＝－2.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
(2)方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于直线x－y＝0对称D.关于直线x＋y＝0对称
解析 易得圆心C(－a，a)，即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D.
通过圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)确定其圆心为(a，b)，半径为r.非标准形式可先转化为标准形式，再写圆心、半径.
训练1 圆C：(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为( )A.－1或－3 B.－1或3C.1或－3 D.1或3
解析 圆心的坐标为(1，0)，
即|1＋a|＝2，解得a＝1或a＝－3.
例2 已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围.
解 由题意，得点A在圆C上或圆C的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，
判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2r2.
角度1 直接法求圆的标准方程
例3 (1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为__________________________________.
解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(x＋5)2＋(y＋3)2＝25
(x－2)2＋y2＝9
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.
例4 求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.解 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
角度2 待定系数法求圆的标准方程
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
1.用直接法求圆的标准方程的策略(1)先求出圆心坐标和半径，然后根据标准形式直接写出圆的标准方程.(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点为圆心”等.2.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
训练3 在：①经过直线l1：x－2y＝0与直线l2：2x＋y－1＝0的交点；②圆心在直线2x－y＝0上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求出圆的方程；若问题中的圆不存在，请说明理由.问题：是否存在圆Q，且点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上？解 因为点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上，所以圆心在直线AB的垂直平分线上，又直线AB的方程为y＝－1，
若选①，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上.
若选②，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上.
即存在圆Q，且圆Q的方程为
1.牢记三个知识点：(1)圆的标准方程；(2)点与圆的位置关系；(3)圆的简单几何性质.2.掌握两种思想方法：数形结合和待定系数法.3.辨清一个易错点：结合图形求圆的标准方程易漏解.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
2.圆心为(1，1)且过原点的圆的标准方程是( )A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
4.若直线2x－5y＋a＝0平分圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9的周长，则a等于( )A.9 B.－9 C.1 D.－1解析 因为直线2x－5y＋a＝0平分圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9的周长，所以直线2x－5y＋a＝0经过该圆的圆心(2，－1)，即2×2－5×(－1)＋a＝0，解得a＝－9.
5.(多选)已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是( )A.圆M的圆心为(4，－3)B.圆M的圆心为(－4，3)C.圆M的半径为5D.圆M截y轴所得的线段长为6解析 由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，故圆心为(4，－3)，半径为5，则AC正确；令x＝0，得y＝0或y＝－6，线段长为6，故D正确.
6.已知A(－1，4)，B(5，－4)，则以AB为直径的圆的标准方程是 __________________________.
(x－2)2＋y2＝25
7.与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共圆心，且过点P(－1，1)的圆的标准方程是_______________________.
(x－2)2＋(y＋3)2＝25
解析 圆心为(2，－3)，设所求圆的半径为r，则r2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
8.点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是________.
解析 由圆的方程x2＋y2＝24，得
9.求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程.解 法一 设点C为圆心，∵点C在直线l：x－2y－3＝0上，∴可设点C的坐标为(2a＋3，a).又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
10.已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0).(1)如果点 M(6，9)在圆上，求半径a；(2)如果点P(3，3)与Q(5，3)中的一点在圆内，一点在圆外，求a的取值范围.解 (1)∵点M(6，9)在圆上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10.
11.(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为( )A.x2＋(y－4)2＝20 B.(x－4)2＋y2＝20C.x2＋(y－2)2＝20 D.(x－2)2＋y2＝20解析 令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.
以B为圆心，过A点的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20.
12.过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)的圆的方程为 ____________________.
(x－2)2＋(y－1)2＝25
解析 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.
13.在△ABC中，已知A(0，3)，B(4，0)，直线l经过点C.(1)若直线l：8x－6y－7＝0与线段AB交于点D，且D为△ABC的外心，求△ABC的外接圆的方程；
法二 由已知得，D∈AB，且D为△ABC的外心，∴△ABC为直角三角形，D为线段AB的中点，
(2)若直线l方程为x＋3y＋6＝0，且△ABC的面积为10，求点C的坐标.
解 设点C的坐标为(a，b)，由已知得|AB|＝5，直线AB的方程为3x＋4y－12＝0，
又点C的坐标(a，b)满足方程x＋3y＋6＝0，即a＋3b＋6＝0，②
∴点C的坐标为(0，－2)或(24，－10).
14.已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)，(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值.
∴所求方程为(x－3)2＋y2＝4.
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程.2.会根据已知条件求圆的标准方程，并写出圆心和半径.
通过探索圆的标准方程并运用方程解决问题，培养数学抽象及数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、圆的标准方程1.思考 如何给圆下定义？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？提示 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹)叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.确定圆的要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
提示 设圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，
2.思考 若圆心为A(a，b)，半径为r，利用两点间的距离公式，你能推导出圆的方程吗？
3.填空 已知圆C的圆心为C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为__________________________________.温馨提醒 (1)当圆心在原点O(0，0)，半径为r，则圆的标准方程为x2＋y2＝r2；(2)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上.
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
(2)以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为( )A.(x＋2)2＋(y－1)2＝4B.(x＋2)2＋(y＋1)2＝4C.(x－2)2＋(y＋1)2＝16D.(x＋2)2＋(y－1)2＝16
二、点与圆的位置关系1.思考 对于点P(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，那么点P在圆C上的充要条件是什么？提示 满足圆的方程(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.2.思考 点P(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，那么点P在圆内或圆外的充要条件是什么呢？提示 点P(x0，y0)在圆C内，则|PC|
温馨提醒 点与圆的位置关系的判断实质是利用点到圆心的距离与半径的关系.
4.做一做 (1)已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0
三、圆的简单几何性质1.思考 对于圆x2＋y2＝2，该圆上任意一点P(x，y)的x与y应满足的条件是什么？
2.思考 对于圆x2＋y2＝2上的任意一点P(x，y)，关于原点的对称点(－x，－y)，关于x轴的对称点(x，－y)，关于y轴的对称点(－x，y)是否在该圆上？提示 在圆上.
3.填空 圆x2＋y2＝r2的简单几何性质(1)范围：|x|≤r，____________，(2)对称性：该圆既是关于x轴和y轴的________图形，也是关于原点的__________图形.温馨提醒 圆既是中心对称图形，又是轴对称图形.圆的对称中心为圆心，对称轴为圆的直径，圆有无数条对称轴，只有一个对称中心.
4.做一做 (1)若直线x＋y－3＝0始终平分圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的周长，则a＋b等于( )A.3 B.2C.5 D.1解析 由题意可知，圆心(a，b)在直线x＋y－3＝0上，∴a＋b－3＝0，即a＋b＝3.
(2)若圆(x－1)2＋(y－1)2＝3关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是( )A.2 B.－2C.1 D.－1解析 ∵圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，∴直线y＝kx＋3过圆心(1，1)，即1＝k＋3，∴k＝－2.
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(2)方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于直线x－y＝0对称D.关于直线x＋y＝0对称
解析 易得圆心C(－a，a)，即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D.
通过圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)确定其圆心为(a，b)，半径为r.非标准形式可先转化为标准形式，再写圆心、半径.
训练1 圆C：(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为( )A.－1或－3 B.－1或3C.1或－3 D.1或3
解析 圆心的坐标为(1，0)，
即|1＋a|＝2，解得a＝1或a＝－3.
例2 已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围.
解 由题意，得点A在圆C上或圆C的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，
判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2
角度1 直接法求圆的标准方程
例3 (1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为__________________________________.
解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(x＋5)2＋(y＋3)2＝25
(x－2)2＋y2＝9
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.
例4 求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.解 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
角度2 待定系数法求圆的标准方程
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
1.用直接法求圆的标准方程的策略(1)先求出圆心坐标和半径，然后根据标准形式直接写出圆的标准方程.(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点为圆心”等.2.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
训练3 在：①经过直线l1：x－2y＝0与直线l2：2x＋y－1＝0的交点；②圆心在直线2x－y＝0上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求出圆的方程；若问题中的圆不存在，请说明理由.问题：是否存在圆Q，且点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上？解 因为点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上，所以圆心在直线AB的垂直平分线上，又直线AB的方程为y＝－1，
若选①，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上.
若选②，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上.
即存在圆Q，且圆Q的方程为
1.牢记三个知识点：(1)圆的标准方程；(2)点与圆的位置关系；(3)圆的简单几何性质.2.掌握两种思想方法：数形结合和待定系数法.3.辨清一个易错点：结合图形求圆的标准方程易漏解.
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拓展延伸分层精练 核心素养达成
2.圆心为(1，1)且过原点的圆的标准方程是( )A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
4.若直线2x－5y＋a＝0平分圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9的周长，则a等于( )A.9 B.－9 C.1 D.－1解析 因为直线2x－5y＋a＝0平分圆(x－2)2＋(y＋1)2＝9的周长，所以直线2x－5y＋a＝0经过该圆的圆心(2，－1)，即2×2－5×(－1)＋a＝0，解得a＝－9.
5.(多选)已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是( )A.圆M的圆心为(4，－3)B.圆M的圆心为(－4，3)C.圆M的半径为5D.圆M截y轴所得的线段长为6解析 由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，故圆心为(4，－3)，半径为5，则AC正确；令x＝0，得y＝0或y＝－6，线段长为6，故D正确.
6.已知A(－1，4)，B(5，－4)，则以AB为直径的圆的标准方程是 __________________________.
(x－2)2＋y2＝25
7.与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共圆心，且过点P(－1，1)的圆的标准方程是_______________________.
(x－2)2＋(y＋3)2＝25
解析 圆心为(2，－3)，设所求圆的半径为r，则r2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
8.点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是________.
解析 由圆的方程x2＋y2＝24，得
9.求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程.解 法一 设点C为圆心，∵点C在直线l：x－2y－3＝0上，∴可设点C的坐标为(2a＋3，a).又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
10.已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0).(1)如果点 M(6，9)在圆上，求半径a；(2)如果点P(3，3)与Q(5，3)中的一点在圆内，一点在圆外，求a的取值范围.解 (1)∵点M(6，9)在圆上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10.
11.(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为( )A.x2＋(y－4)2＝20 B.(x－4)2＋y2＝20C.x2＋(y－2)2＝20 D.(x－2)2＋y2＝20解析 令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.
以B为圆心，过A点的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20.
12.过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)的圆的方程为 ____________________.
(x－2)2＋(y－1)2＝25
解析 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.
13.在△ABC中，已知A(0，3)，B(4，0)，直线l经过点C.(1)若直线l：8x－6y－7＝0与线段AB交于点D，且D为△ABC的外心，求△ABC的外接圆的方程；
法二 由已知得，D∈AB，且D为△ABC的外心，∴△ABC为直角三角形，D为线段AB的中点，
(2)若直线l方程为x＋3y＋6＝0，且△ABC的面积为10，求点C的坐标.
解 设点C的坐标为(a，b)，由已知得|AB|＝5，直线AB的方程为3x＋4y－12＝0，
又点C的坐标(a，b)满足方程x＋3y＋6＝0，即a＋3b＋6＝0，②
∴点C的坐标为(0，－2)或(24，－10).
14.已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)，(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值.
∴所求方程为(x－3)2＋y2＝4.
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