数学选择性必修 第一册2.4 圆与圆的位置关系教案配套课件ppt

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第一章 直线与圆
2.4　圆与圆的位置关系
课标要求
1.能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法.3.能利用圆与圆的位置关系解决有关问题.
素养要求
通过圆与圆的位置关系的判定及解决相关问题，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
1.思考　平面内两个不等的圆之间有几种位置关系？分别是什么？ 提示　五种.分别是外离、外切、相交、内切、内含.2.思考　类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，通过定量计算判断它们之间的位置关系？ 提示　①几何法：利用圆心距与半径和或差的关系判断； ②代数法：利用联立两圆的方程，所得的一元二次方程的判断式Δ，然后再结合图形进行判断.
d>r1＋r2
d<|r1－r2|
|r1－r2|d＝|r1－r2|
d＝r1＋r2
则①判别式Δ>0时，C1与C2______.②判别式Δ＝0时，C1与C2____________.③判别式Δ<0时，C1与C2______或______.温馨提醒　(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系.(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法.
相交
外切或内切
外离
内含
4.做一做　(1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
B
D
解析　由题意可知
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 当a分别为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0： (1)外切；(2)相交；(3)外离？ 解　将两圆方程化为标准方程，则 C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9， C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4. ∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2，则|r1－r2|＝1，|r1＋r2|＝5. 设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(2)当15，即2a2＋6a＋5>25时，两圆外离，此时a>2或a<－5.
(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2；
判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径.(2)计算两圆圆心的距离d.(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合.
训练1 (1)(多选)当实数m变化时，圆x2＋y2＝1与圆N：(x－m)2＋(y－1)2＝4的位置关系可能是(　 　) A.外离 B.外切 C.相交 D.内含
ABC
解析　圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径为1；圆N：(x－m)2＋(y－1)2＝4的圆心为(m，1)，半径为2.
所以这两个圆的位置关系不可能是内含，故选ABC.
(2)圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三条公切线，则实数a的值是(　　)A.4 B.6 C.16 D.36
C
解析　圆C1的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，
解得a＝16.
解　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
解　因为圆心在x轴上，所以可设圆心坐标为(a，0)，设半径为r，则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，
所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
通过直线与圆、圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题.
训练2 已知圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝1. (1)若直线l过定点A(4，0)，且与圆C相切，求直线l的方程；
(2)若圆M的半径为4，圆心在直线x＋y－1＝0上，且与圆C外切，求圆M的方程.
解　由题意，可设圆心M的坐标为(t，1－t)，t∈R，则由圆C与圆M外切，得圆心距为|CM|＝5，
则圆心M(4，－3)或M(－1，2).故所求圆M的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x＋1)2＋(y－2)2＝16.
例3 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
①－②，得x－y＋4＝0.∵A，B两点的坐标都满足此方程，
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.
得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2).设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.
法二　设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
代入x－y－4＝0，解得λ＝－7.故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.(3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).
训练3 求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程. 解　法一　设经过两圆交点的圆系方程为 x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，
所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为A(－1，－1)，B(3，3)，线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y－1＝－(x－1).
即所求圆的圆心为(3，－1)，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
课堂小结
1.牢记三个知识点：(1)两圆位置关系的判断；(2)两圆的公共弦；(3)圆系方程及其应用.2.掌握两种方法：代数法、几何法.3.辨清一个易错点：将两圆内切和外切相混.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是(　　) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
B
BC
3.过两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0和x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交点的直线的方程是(　　) A.x＋y＋2＝0 B.x＋y－2＝0 C.5x＋3y－2＝0 D.不存在
A
①－②得x＋y＋2＝0.
4.(多选)设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是(　　) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
AB
解析　两圆的圆心距为d＝
所以两圆不可能外切或外离，故选AB.
5.(多选)半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程可以是(　　) A.(x－4)2＋(y－6)2＝6 B.(x＋4)2＋(y－6)2＝6 C.(x－4)2＋(y－6)2＝36 D.(x＋4)2＋(y－6)2＝36
CD
6.若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是_________________________.
7.已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y＋10＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线方程是_________________，公共弦AB长度为___________.
2x＋y＋3＝0
8.已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x－y＋10＝0上.存在正实数r＝__________，使得动圆C中满足与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有且仅有一个.
9.已知圆C的方程：x2＋y2－2x－4y＋m＝0. (1)求m的取值范围； (2)当圆C与圆D：(x＋3)2＋(y＋1)2＝16相外切时，求圆C的半径. 解　(1)x2＋y2－2x－4y＋m＝0即为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，表示圆的条件是5－m>0，即m<5，∴m的取值范围是(－∞，5).
10.已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0. (1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系；
(2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？
解　不存在.理由如下：
ABC
二、能力提升
C
解析　设P(x，y)，由|PA|＝2|PO|，得(x－3)2＋y2＝4x2＋4y2，整理得(x＋1)2＋y2＝4，表示圆心为(－1，0)，半径为R＝2的圆，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1，0)，r＝1为半径的圆，两圆的圆心距为2，满足R－r<213.已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0), 直线l：x＋2y＝0. (1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
解　由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0，0)，半径r1＝2，又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0.因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心C1(0，0)，即r2＝9(r>0)，解得r＝3.
(2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程.
解　设过圆C1与圆C2的圆系方程为(x－1)2＋(y－2)2－1＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0，
解得λ＝1，故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0.
ABD
三、创新拓展