高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.3 直线的方程评课ppt课件

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第一章 直线与圆
1.3　直线的方程
第一课时　直线方程的点斜式
课标要求
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程.2.了解斜截式与一次函数的关系.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题.
素养要求
通过推导直线的点斜式及斜截式方程的过程，提升逻辑推理及数学抽象素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
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一、直线的点斜式方程1.思考　已知l1，l2是平面直角坐标系下的直线，判断满足以下条件的直线l1，l2是否唯一. (1)已知l1的斜率不存在； (2)已知l1的斜率不存在且l1过点A(1，2)； (3)已知l2的斜率为2； (4)已知l2的斜率为2且过点B(2，3).
2.思考　过点P(1，1)且斜率为－2的直线的方程如何表示？ 提示　y－1＝－2(x－1).
3.填空　(1)直线的方程：一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程.
(2)点斜式方程我们把方程__________________________称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程.方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它称为直线的____________，简称点斜式.温馨提醒　(1)直线的点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，不能应用此式.(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.
y－y0＝k(x－x0)
点斜式方程
D
4.做一做　(1)已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　) A.直线经过点(2，－1)，斜率为－1 B.直线经过点(1，－2)，斜率为－1 C.直线经过点(－2，－1)，斜率为1 D.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 解析　直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以过定点(－1，－2)，斜率为－1.
(2)倾斜角是30°，且过点(2，1)的直线的点斜式方程是______________.
二、直线的斜截式方程1.思考　直线l过点P(0，b)且斜率为k，如何表示直线l的方程？ 提示　根据点斜式方程y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b.2.思考　若直线l的方程为y＝kx＋b，则直线l恒过哪个定点，b的范围如何？ 提示　恒过定点(0，b)，b∈R.3.填空　(1)直线l与y轴的交点(0，b)的__________为直线l在y轴上的截距. (2)把方程y＝kx＋b称为直线的________方程，简称斜截式. 温馨提醒　(1)直线的斜截式方程成立的条件是直线的斜率存在； (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0.
纵坐标b
斜截式
C
4.做一做　(1)已知直线的倾斜角为45°，在y轴上的截距为2，则此直线的方程为(　　) A.y＝－x＋2 B.y＝x－2 C.y＝x＋2 D.y＝－x－2 解析　因为直线的倾斜角为45°， 所以直线的斜率为1.又在y轴上的截距为2， 所以直线方程为y＝x＋2. 故选C.
B
∴l在y轴上的截距为－9.故选B.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A(－4，3)，斜率k＝3；(2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°； (3)过点C(－1，2)，且与y轴平行；(4)过点D(2，1)和E(3，－4). 解　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝3[x－(－4)]. (2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)]. (3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示.由于直线上所有点的横坐标都是－1，故这条直线的方程为x＝－1. (4)∵直线过点D(2，1)和E(3，－4)，
故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2).
求直线的点斜式方程的思路
训练1 根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行.解　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝4(x－2)；(2)∵直线的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2；(3)y＝－1.
例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
解　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
解　∵直线的倾斜角为60°，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
直线的斜截式方程的求解策略：(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可.(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程.
训练2 写出下列直线的斜截式方程： (1)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； (2)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.
(2)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，∴直线过点(4，0)和(0，－2).
例3 已知直线l经过点P(－2，3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程. 解　显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则构不成三角形，设其斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，令x＝0，得y＝2k＋3，
迁移1 若将本例中“直线l经过点P(－2，3)”改为“直线l的斜率为－2”，其它条件不变，求直线l的方程.
迁移2 若将本例中“直线l经过点P(－2，3)”改为“直线l在y轴上的截距为 －2”，其它条件不变，求直线l的方程. 解　由题意知，直线l的斜率存在，设为k(k≠0). 则l的方程为y＝kx－2，令y＝0，则
(1)直线方程的斜截式y＝kx＋b清晰地指出了该直线的两个几何要素：斜率k和截距b.(2)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距，无论采用哪种方式，在求解过程中待定系数法是求解该类问题的常用方法.
训练3 直线l的斜率为3且它在y轴上的截距为－3. (1)求直线l的方程； (2)求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积. 解　(1)由斜截式得直线l的方程为y＝3x－3.
课堂小结
1.牢记两类直线方程：直线的点斜式方程和斜截式方程.2.掌握两种思想方法：数形结合法和待定系数法.3.辨清两个易错点：(1)求直线方程时忽视斜率不存在的情况；(2)混淆截距与距离.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
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1.过点P(－2，1)且倾斜角为90°的直线方程为(　　) A.y＝1 B.x＝－2 C.y＝－2 D.x＝1 解析　由于倾斜角为90°，故斜率不存在，故x＝－2.
B
2.直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是(　　) A.x－y＋1＝0 B.x－y－1＝0 C.x＋y－1＝0 D.x＋y＋1＝0 解析　∵直线的倾斜角为45°， ∴直线的斜率为1， 又∵过点(0，－1)， ∴直线l的方程为y＋1＝x， 整理可得x－y－1＝0， 故选B.
B
B
4.已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点(　　) A.(1，3) B.(－1，－3) C.(3，1) D.(－3，－1) 解析　直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3，1).
C
解析　A中，直线y＝kx＋b过一、二、四象限，则k<0，b>0，则点(k，b)在第二象限，故A正确；B中，直线y＝ax－3a＋2可化为y－2＝a(x－3)过定点(3，2)，故B正确；C中，根据点斜式方程知C正确；D中，直线的方程为y＝－2x＋3，故D错误，故选ABC.
ABC
6.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是__________________________________.
7.已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l 在y轴上的截距为7，则m＝________. 解析　方程y－m＝(m－1)(x＋1)可化为y＝(m－1)x＋2m－1， 所以2m－1＝7，解得m＝4.
4
由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，所以k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).
(－∞，－1]∪[1，＋∞)
∴直线l的倾斜角为60°，
∵直线l过点P(3，－4)，∴直线l的点斜式方程为
(2)与y轴的交点为(0，－3).
∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，∴直线l的点斜式方程为
10.已知△ABC在第一象限，若A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求： (1)边AB所在直线的方程； (2)边AC和BC所在直线的点斜式方程. 解　(1)由题意，点A(1，1)，B(5，1)，可得A，B两点的纵坐标均为1，所以AB边所在直线的方程为y＝1.
11.(多选)经过点(2，1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为(　　) A.y＝x＋3 B.y＝x－1 C.y＝－x＋3 D.y＝－x－1 解析　由题意可知直线的斜率为±1，当直线的斜率为1时，直线方程为y－1＝x－2，化简得，y＝x－1；当直线的斜率为－1时，直线方程为y－1＝－(x－2)，化简得y＝－x＋3.
BC
二、能力提升
12.(多选)下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a不可能正确的是(　　 )
ABD
解析　①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距为a>0，A，B，C，D都不成立；②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0，只有C成立.
所以直线l必经过第一象限.
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
若直线l不经过第二象限，则直线l的斜率kl≥3，即a≥3.所以实数a的取值范围为[3，＋∞).
14.已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点；
三、创新拓展
证明　由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2).由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1).
(2)当－3解　设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若使当－3