高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 空间向量运算的坐标表示及其应用图片ppt课件

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第三章 空间向量与立体几何
第二课时　空间向量与垂直关系
课标要求
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系.
素养要求
利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系，判定直线、平面的垂直关系，培养学生的数学运算、直观想象素养和逻辑推理素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
1.思考　如图，根据直线、平面的位置关系，判断直线的方向向量、平面的法向量有什么关系？
提示　l⊥m，n1∥l，n1⊥n2.
提示　能.证明：设l是直线l的一个方向向量，
2.思考　如图所示，AB⊥α，垂足为点B，AC∩α＝C，l⊂α，且l⊥BC，由向量法能否得到l⊥AC.
因为AB⊥α，l⊂α，
3.填空　(1)设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 l⊥m⇔________； l⊥α⇔__________； α⊥β⇔____________. (2)三垂线定理及其逆定理 ①三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的______垂直，则它也和这条______垂直. ②三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条______垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的______垂直.
l⊥m
l∥n1
n1⊥n2
投影
斜线
斜线
投影
B
4.做一做　(1)若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则(　　) A.l1∥l2 B.l1⊥l2 C.l1，l2相交但不垂直 D.不能确定 解析　∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
5
(2)已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________.解析　∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量u与平面β的法向量v互相垂直，∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
法二　设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得
利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤：(1)基向量法：①选取三个不共面的已知向量为空间的一组基；②把两直线的方向向量用基表示；③计算两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直.(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③④与(1)同.
训练1 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点. 求证：(1)BD1⊥AC； (2)BD1⊥EB1. 证明　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，
例2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点. 求证：EF⊥平面B1AC.
又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC.
取x＝1，则y＝1，z＝－1，
即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C⊂平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC.
证明直线与平面垂直的方法：本例中法一、法二建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的.法三选一组基，将相关向量用基表示出来，然后利用向量的计算来证明.
训练2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，|AD|＝|PD|，E，F分别为CD，PB的中点.求证：EF⊥平面PAB.
证明　以D为坐标原点，DC，DA，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设CD＝2a，AD＝b.
则E(a，0，0)，C(2a，0，0)，A(0，b，0)，B(2a，b，0)，P(0，0，b)，
取y＝1，则x＝0，z＝1，n＝(0，1，1)，
所以EF⊥平面PAB.
例3 在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且|BE|∶|EC|＝|PF|∶|FB|＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.
而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.
法二　同法一，建立空间直角坐标系，则E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0).
设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，
即n＝(0，1，－1).
用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，计算它们的数量积是否为0即可.
训练3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点.
(1)求证：A1E⊥BD；
解　以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a).设E(0，a，e)(0≤e≤a).
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置.
解　以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a).设E(0，a，e)(0≤e≤a).
设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).
由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2，
课堂小结
1.牢记一个知识点：利用空间向量证明掌握垂直关系.2.掌握两种方法：数形结合，转化与化归.3.辨清一个易错点：平面的法向量不唯一.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.设直线l1的一个方向向量为a＝(2，1，－2)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，2，m)，若l1⊥l2，则m＝(　　) A.1 B.－2 C.－3 D.3
D
解析　∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝2×2＋1×2＋(－2)·m＝0，∴m＝3.
2.已知平面α的一个法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝(　　) A.4 B.－4 C.5 D.－5
D
解析　∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝－5.
B
4.(多选)已知v1，v2分别为直线l1，l2的方向向量(l1，l2不重合)，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，则下列说法中，正确的是(　　) A.v1∥v2⇔l1⊥l2 B.v1⊥v2⇔l1⊥l2 C.n1∥n2⇔α⊥β D.n1⊥n2⇔α⊥β
BD
解析　∵v1，v2分别为直线l1，l2的方向向量(l1，l2不重合)，∴v1∥v2⇔l1∥l2，故A错误；v1⊥v2⇔l1⊥l2，故B正确；∵n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，∴n1∥n2⇔α∥β，故C错误；n1⊥n2⇔α⊥β，故D正确；故选BD.
5.(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM(　　) A.和AC垂直 B.和AA1垂直 C.和MN垂直 D.与AC，MN都不垂直
AC
解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为2a，则M(0，0，a)，A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a).
∴OM⊥AC，OM⊥MN.OM和AA1显然不垂直.
6.已知u＝(a＋b，a－b，2)是直线l的一个方向向量，n＝(2，3，1)是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________.
5，－1
7.设u，ν分别是平面α，β的法向量，u＝(－2，2，5)，当ν＝(3，－2，2)时，α与β的位置关系为_____________；当ν＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为_____________.
α⊥β
α∥β
解析　∵u，ν分别是平面α，β的法向量，u＝(－2，2，5)，当ν＝(3，－2，2)时，ν·u＝－6－4＋10＝0，∴α⊥β；当ν＝(4，－4，－10)时，ν＝－2u，∴α∥β.
10.如图所示，在三棱锥P－ABC中，|AB|＝|AC|，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知|BC|＝8，|PO|＝4，|AO|＝3，|OD|＝2. (1)证明：AP⊥BC；
证明　如图所示，以O为原点，OD，OP所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.则A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)，
(2)若点M是线段AP上一点，且|AM|＝3，求证：平面AMC⊥平面BMC.
证明　在Rt△POA中，AO＝3，PO＝4，所以AP＝5.又AM＝3，且点M在线段AP上，
BC∩BM＝B，BC，BM⊂平面BCM，所以AP⊥平面BMC，所以AM⊥平面BMC，又AM⊂平面AMC，所以平面AMC⊥平面BMC.
B
二、能力提升
BC
解析　以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，
13.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD.
又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.法二　设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z).
令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1，1，0).
14.如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知|BC|＝4，|AB|＝|AD|＝2. (1)求证：AC⊥BF；
三、创新拓展
解　∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD.
∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB.