高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 空间向量运算的坐标表示及其应用教案配套ppt课件

第二课时　排列的应用

课标要求　1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.

素养要求　通过排列数公式的学习，提升数学抽象素养及逻辑推理素养.

1.思考　排列与排列数的区别是什么？

提示　“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指完成的具体的一件事，其过程要先取后排，它不是一个数；而排列数是指完成具体的一件事的所有方法的种数，即所有排列的个数，它是一个数.

2.填空　(1)A＝n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]，A＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1.

温馨提醒　(1)对有限制条件的排列问题，首先考虑特殊元素(或特殊位置)；

(2)面对相邻问题常用捆绑法；

(3)不相邻问题常用插空法.

3.做一做　(1)6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有(　　)

A.720种   B.360种

C.240种   D.120种

答案　C

解析　将甲、乙两人视为1人与其余4人排列，有A种排列方法，甲、乙两人可互换位置，所以总的排法有A·A＝240(种).

(2)用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个.

答案　144

解析　先排奇数位有A种，再排偶数位有A种，故共有AA＝144个.

题型一　元素的“在”与“不在”问题

例1 7名同学站成一排.

(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

(3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

解　(1)先考虑甲站在中间有1种方法，再在余下的6个位置排另外6名同学，共有A＝6×5×4×3×2×1＝720(种)排法.

(2)先考虑甲、乙在两端的排法有A种，余下的5个位置排另外5名同学的排法有A种，共有AA＝240(种)排法.

(3)两端的排法有A种，中间5个位置有A种，共有AA＝2 400(种)排法.

思维升华　“在”与“不在”排列问题解题原则及方法

(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先.

(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置.

注意解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底.不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误.

训练1 (1)某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有(　　)

A.6种   B.9种

C.18种   D.24种

答案　C

解析　先排体育有A种，再排其他的三科有A种，共有AA＝18(种).

(2)电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的产品广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式有(　　)

A.48种   B.24种

C.720种   D.120种

答案　A

解析　分两步：第一步先排首尾，第二步再排中间4个位置，则播放方式有AA＝2×24＝48(种).

题型二　“相邻”与“不相邻”问题

例2  3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数.

(1)全体站成一排，男、女各站在一起；

(2)全体站成一排，男生必须排在一起；

(3)全体站成一排，男生不能排在一起；

(4)全体站成一排，男、女生各不相邻；

(5)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人.

解　(1)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法，全体男生、女生各看做一个元素全排列有A种排法.由分步乘法计数原理共有AAA＝288(种)方法.

(2)(捆绑法)把所有男生看做一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故有AA＝720(种)不同的排法.

(3)不相邻问题(插空法)：先排女生有A种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的5个空中，有A种排法，故有AA＝1 440(种)不同的排法.

(4)对比(3)，让女生插空，有AA＝144(种)不同的排法.

(5)(捆绑法)除甲、乙外，从其余的5人中任取2人，并站在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下的3个人进行全排列，故有(A·A)·A＝960(种)不同的排法.

思维升华　(1)在实际排列问题中，某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看成一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，这种方法称为“捆绑法”.

(2)某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空当，这种方法称为“插空法”.

训练2 某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？

(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；

(2)2个唱歌节目互不相邻；

(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.

解　(1)先排唱歌节目有A种排法，

再排其他节目有A种排法，

所以共有A·A＝1 440(种)排法.

(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目有A种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A种插入方法，所以共有A·A＝30 240(种)排法.

(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A种排法，故所求排法共有A·A·A＝2 880种排法.

题型三　定序问题

例3 五个人排成一排，求满足下列条件的不同排列各有多少种.

(1)A，B，C三人左中右顺序不变(不一定相邻)；

(2)A在B的左边且C在D的右边(可以不相邻).

解　(1)首先五个人站成一排，共有A种排法，其中A，B，C三人的全排列有A种排法，而A，B，C从左到右的顺序只是其中一种，所以满足条件的排法共＝20(种).

(2)同(1)，不过此题中A和B，C和D被指定了顺序，则满足条件的排法共＝30(种).

思维升华　在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻).解决这类问题的基本方法有两个：

(1)整体法，即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，则先将这m＋n个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法；

(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中.

训练3 7人站成一列.

(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？

(2)甲、乙、丙三人自前向后的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法？

解　(1)甲在乙前面的排法种数占全排列种数的一半，故有＝2 520(种)不同的排法.

(2)甲、乙、丙、自前向后的顺序保持不变，即甲、乙、丙自前向后顺序的排法种数占全排列种数的.

故有＝840(种)不同的排法.

[课堂小结]

1.熟悉三种题型：(1)“在”与“不在”问题.

(2)“相邻”与“不相邻”问题.

(3)定序问题.

2.掌握四种方法：(1)捆绑法.(2)插空法.(3)定序降序法.(4)正难则反，间接法.

3.辨清一个易错点：按一定标准分类时，出现重复或遗漏情况导致错误.

一、基础达标

1.6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有(　　)

A.30种   B.144种

C.5种   D.4种

答案　B

解析　先排除甲、乙、丙以外的3人有A种排法，将甲、乙、丙3人插入4个空中有A种排法，由分步乘法计数原理可得：甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有AA＝6×24＝144(种)，故选B.

2.由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的三位偶数的个数是(　　)

A.  120       B.60 

C.52   D.50

答案　C

解析　若个位为0，则有A＝20个，若个位不为0，则有A·A·A＝32个，∴共有52个三位偶数.

3.在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有(　　)

A.34种   B.48种 

C.96种   D.144种

答案　C

解析　由题意可知，先排工序A，有2种编排方法；再将工序B和C视为一个整体(有2种顺序)与其他3个工序全排列共有2A种编排方法.故实施顺序的编排方法共有2×2A＝96(种).故选C.

4.(多选)A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有(　　)

A.若A、B不相邻共有72种方法

B.若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法

C.若A在B左边有60种排法

D.若A、B两人站在一起有24种方法

答案　ABC

解析　对于A：若A、B不相邻共有A·A＝72(种)方法，故A正确；

对于B：若A不站在最左边，B不站最右边，利用间接法有A－2A＋A＝78(种)方法，故B正确；对于C：若A在B左边有＝60(种)方法，故C正确；

对于D：若A、B两人站在一起有AA＝48(种)方法，故D不正确.故选ABC.

5.为引领广大家庭和少年儿童继承党的光荣传统、弘扬党的优良作风，进一步增强听党话、感党恩、跟党走的思想自觉性和行动自觉性，某市文明办举行“少年儿童心向党”主题活动，献礼中国共产党成立100周年.原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为(　　)

A.42   B.56 

C.30   D.72

答案　B

解析　增加2个互动节目后，一共有8个节目，这8个节目的不同排法有A种，而原有的6个节目对应的不同排法有A种，所以不同的排法有＝56(种).故选B.

6.从班委会的5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有__________种(用数字作答).

答案　36

解析　文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A＝12(种)方法.由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法.

7.一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有________种.

答案　20

解析　因所添2个节目不相邻，故从原来4个节目形成的5个空中选两个空排列，共有A＝20种结果.

8.由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数.

(1)若x＝9，则其中能被3整除的共有__________个；

(2)若x＝0，则其中的偶数共有__________个.

答案　(1)12　(2)14

解析　(1)因为各位数字之和能被3整除时，该数就能被3整除，所以这种三位数只能由2，4，9或1，2，9排列组成，所以共有2×A＝12(个).

(2)偶数数字有3个，个位数必是一个偶数，同时0不能在百位，可分两类考虑：①0在个位的，有A＝6个.②个位是2或4的，有A×A×A＝8个.

所以偶数共有6＋8＝14(个).

9.一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单.

(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？

(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？

解　(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A种排法，故共有不同排法AA＝14 400(种).

(2)先不考虑排列要求，有A种排法，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有AA种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A－AA＝37 440(种).

10.4个男同学和3个女同学(其中含甲、乙、丙)站成一排.

(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？

(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？

解　(1)3个女同学是特殊元素，排在一起共有A种排法；由于3个女同学必须排在一起，则可视排好的女同学为一个整体，再与4个男同学排队，应有A种排法.

由分步乘法计数原理得，有AA＝720(种)不同的排法.

(2)先将男同学排好，共有A种排法，再在这4个男同学的中间及两头的5个空当中插入3个女同学，则有A种方法.

故符合条件的排法共有AA＝1 440(种).

(3)先排甲、乙、丙3人以外的其他4人，有A种排法；

由于甲、乙要相邻，故先把甲、乙排好，有A种排法；

最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5个空当中，则有A种排法.

所以共有AAA＝960(种)不同的排法.

二、能力提升

11.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你不会是最差的”，从这两个回答分析，这5人的名次排列所有可能的情况共有(　　)

A.18种   B.36种

C.54种   D.72种

答案　C

解析　由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名.乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有A种排法.故共有3×3×A＝3×3×3×2×1＝54(种)不同的情况.故选C.

12.(多选)从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中(　　)

A.偶数有60个

B.比300大的奇数有48个

C.个位和百位数字之和为7的数有24个

D.能被3整除的数有48个

答案　ACD

解析　对于A，其个位数字为2或4或6，有3种情况，在剩余5个数字中任选2个，安排在百位和十位，有A＝20(种)情况，则有3×20＝60(个)三位偶数，A正确；

对于B，分2种情况讨论，若百位数字为3或5，有2×2×4＝16(个)三位奇数，若百位数字为4或6，有2×3×4＝24(个)三位奇数，则符合题意的三位数有16＋24＝40(个)，B错误；

对于C，个位和百位数字之和为7有(1，6)，(2，5)，(3，4)，共3种情况，则符合题意的三位数有3AA＝24(个)，故C正确；

对于D，能被3整除，则三个数字之和为3的倍数，共有(1，2，3)，(1，2，6)，(1，3，5)，(1，5，6)，(2，3，4)，(2，4，6)，(3，4，5)，(4，5，6)八种选择，故能被3整除的数有8A＝48个，故D正确；故选ACD.

13.某大学师范学院的两名教授带领四名实习学生外出实习，实习前在学院门口合影留念，实习结束后四名实习生就被安排在三所中学任教，请回答以下问题.(用数字作答)

(1)若站成两排合影，两名教授站在前排，四名实习学生站在后排，则共有多少种不同的排法？

(2)若站成一排合影，两名教授必须相邻，则共有多少种不同的排法？

(3)实习结束后，四名实习生被安排在三所中学任教，若每个中学至少一人去且甲、乙两人不能去同一学校，则共有多少种不同的安排方法？

解　(1)先排2名教授，有A＝2(种)不同的排法，再排4名实习学生，有A＝24(种)不同的排法，故由分步乘法计数原理可得，共有2×24＝48(种)不同的排法.

(2)将2名教授看作是一个整体，和4名实习学生一起排列有A＝120(种)不同的排法.又2名教授有A＝2(种)不同的排法，所以共有2×120＝240(种)不同的排法.

(3)因为甲、乙两人不能去同一所学校，

分为甲、乙均单独去一个学校有A＝6(种)；甲单独去一所学校，乙与另一人去一所学校有2A＝2×6＝12(种)，乙单独去一所学校，甲与另一人去一所学校有2A＝2×6＝12(种)，则共有6＋12＋12＝30(种)不同的安排方法.

三、创新拓展

14.(多选)由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，这十个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，则关于这样的五位数的个数，下列表示正确的有(　　)

A.(A)2A

B.A＋(A)2A

C.A－2A＋A

D.A＋AAA＋AA

答案　BCD

解析　A错误；若0在个位，选法有A种；若0不在个位且1不在个位，个位有A种选法，万位有A种选法，其它位置有A种选法，共有A·A·A种，故所有选法共有A＋A·A·A种，B正确；0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，这十个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，则关于这样的五位数的个数， 排除法：总共有A，减去1在个位和0在万位的共有2A，加上0在万位，1在个位的有A种，共有A－2A＋A种，故C正确；分两类，第一类，若有1且1在万位，从剩下9个数字中选择4个数字排在千，百，十，个位，有A种，若1不在万位，有A种选法，万位有A种选法，其它位置有A种选法，共A·A·A种；第二类，若不选1，则万位有A种选择，剩下各位置有A种，共有AA，故有A＋AAA＋AA种，D正确.