【最新版】高中数学（新北师大版）习题+同步课件培优课　点差法的应用

培优课　点差法的应用

在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们常用的解法如下：设弦的两个端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，分别代入圆锥曲线的方程后相减，得到弦中点的坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，即为“点差法”.直线l与圆锥曲线交于A，B两点，P为AB中点，直线l斜率为kAB，直线OP斜率为kOP，则有以下结论成立：

椭圆中：焦点在x轴时，kAB·kOP＝－＝e2－1，焦点在y轴时，kAB·kOP＝－＝；

双曲线中：焦点在x轴时，kAB·kOP＝＝e2－1，焦点在y轴时，kAB·kOP＝＝；

抛物线中：开口向右时，kAB·y0＝p，开口向左时，kAB·y0＝－p，开口向上时，kAB＝，开口向下时，kAB＝－，点P的坐标为(x0，y0).

下面以焦点在x轴上的椭圆为例，作示意图.

类型一　利用点差法求直线方程

例1 已知抛物线y2＝2px(p＞0)，其焦点到准线的距离为4.

(1)求该抛物线的标准方程.

(2)过点M(1，1)的直线交该抛物线于A，B两点，如果点M恰是线段AB的中点，求直线AB的方程.

解　(1)抛物线y2＝2px(p＞0)，其焦点到准线的距离为4，故p＝4，故y2＝8x.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

故y＝8x1，y＝8x2，

两式相减得到：(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)，即k＝＝4，

故直线方程为：y＝4(x－1)＋1＝4x－3.

例2 已知双曲线方程为3x2－y2＝3.

(1)求以定点A(2，1)为中点的弦所在的直线方程；

(2)以定点B(1，1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在的直线方程；若不存在，请说明理由.

解　(1)设以定点A(2，1)为中点的弦的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，

可得x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，①

由端点在双曲线上，可得3x－y＝3，3x－y＝3，

两式相减可得3(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，将①代入上式，

可得以定点A(2，1)为中点的弦所在的直线斜率为＝＝6，

则以定点A(2，1)为中点的弦所在的直线方程为y－1＝6(x－2)，即为y＝6x－11，

代入双曲线的方程可得33x2－132x＋124＝0，由Δ＝(－132)2－4×33×124＝1 056＞0，故所求直线存在，方程为y＝6x－11.

(2)假设定点B(1，1)为中点的弦存在，

设以定点B(1，1)为中点的弦的端点坐标为(x3，y3)，(x4，y4)，

可得x3＋x4＝y3＋y4＝2，②；由端点在双曲线上，可得3x－y＝3，3x－y＝3，

两式相减可得3(x3－x4)(x3＋x4)＝(y3－y4)(y3＋y4)，将②代入上式，

可得以定点B(1，1)为中点的弦所在的直线斜率为＝＝3，

则以定点B(1，1)为中点的弦所在的直线方程为y－1＝3(x－1)，即为y＝3x－2，

代入双曲线的方程可得6x2－12x＋7＝0，由Δ＝(－12)2－4×6×7＝－24＜0，

可得所求直线不存在，

故以定点B(1，1)为中点的弦不存在.

类型二　利用点差法求轨迹方程

例3 已知椭圆E：＋y2＝1.

(1)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程；

(2)过点M(2，1)引椭圆E的割线，求截得的弦的中点D的轨迹方程.

解　(1)因P在椭圆内部，故过P点的直线一定与椭圆交于两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋y2＝1上两点，P是弦AB的中点，

则两式相减得：

(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0，

∵＝，＝，∴x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，∴x1－x2＋2(y1－y2)＝0，

∴直线AB的斜率kAB＝－.

直线AB的方程为y－＝－，

即2x＋4y－3＝0.

(2)由题意知：M点在椭圆E外且割线的斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是与椭圆＋y2＝1相交的两点，D(x，y)是弦AB的中点，则两式相减得：(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0，

∵x＝，y＝，

∴x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y.

∴2x(x1－x2)＋4y(y1－y2)＝0，∴直线AB的斜率kAB＝＝－(x1≠x2)，

又kAB＝，所以 ＝－，化简得：x2＋2y2－2x－2y＝0(点D在椭圆E内部分)，

所以截得的弦的中点的轨迹方程为x2＋2y2－2x－2y＝0(点D在椭圆E内部分).

类型三　利用点差法求离心率

例4 (1)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　令AB的中点为M，坐标为(1，－1)，则kAB＝kMF＝＝，kOM＝－1.

因为A，B两点是直线与椭圆的交点，且焦点在x轴，所以kAB·kOM＝－＝e2－1，则e＝，故选B.

(2)双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)被斜率为4的直线截得的弦AB的中点为(2，1)，则双曲线E的离心率为(　　)

A.   B. 

C.2   D.

答案　B

解析　设AB中点为M(2，1)，则有kAB·kOM＝4×＝e2－1，则e2＝3，e＝.