【最新版】高中数学（新北师大版）习题+同步课件培优课　概率中的决策问题

培优课　概率中的决策问题

概率统计是高中数学的重要知识点，是高考命题的热点与重点.解答题涉及两个以上的知识模块，具有一定的综合性.此类问题的重心在决策上，不同背景仅仅是为给出决策所进行的数据收集、数据分析、必要的数据处理.主要涉及统计图表与分布列的综合，涉及用频率估计概率、互斥事件、对立事件以及相互独立事件等概率的求解，以离散型随机变量的分布列，数学期望的求解为核心.

类型一　用均值与方差决策

例1 某煤矿发生透水事故，作业区有若干人员被困.救援队从入口进入之后，有L1，L2两条巷道通往作业区(如图)，L1巷道有A1，A2，A3三个易堵塞点，三点被堵塞的概率都是，L2巷道有B1，B2两个易堵塞点，两点被堵塞的概率分别为，.

(1)求L1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；

(2)若L2巷道中堵塞点的个数为X，求X的分布列及均值；

(3)请你按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由.

解　(1)设“L1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A，

则P＝C×3＋C××2＝.

(2)依题意，知X的所有可能取值为0，1，2.

P＝×＝，

P＝×＋×＝，

P＝×＝.

所以随机变量X的分布列为

EX＝0×＋1×＋2×＝.

(3)设L1巷道中堵塞点的个数为Y，则Y～B，所以EY＝3×＝.

因为EX<EY，所以选择L2巷道为抢险路线较好.

例2 2021年双十一期间，某百货超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球和2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回地每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.

(1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；

(2)若某顾客消费恰好满1 000元，

①设该顾客选择抽奖方案一后的实际付款金额为X元，求X的分布列；

②试比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？

解　(1)选择方案一.若享受到免单优惠，则需要摸出2个红球和1个白球，设“顾客享受到免单优惠”为事件A，则P＝＝，所以两位顾客均享受到免单的概率为P＝P·P＝.

(2)①若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0、500、700、1 000.

P＝＝，P＝＝，P＝＝，

P＝1－－－＝.

故X的分布列为，

所以EX＝0×＋500×＋700×＋1 000×＝910(元).

②若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则Z＝1 000－200Y，

由已知可得Y～B，故EY＝3×＝，所以EZ＝E＝1 000－200EY＝820(元).

因为EX>EZ，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.

类型二　利用小概率事件在一次试验中不发生来决策

例3 冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届.第24届冬奥会于2022年在中国北京和张家口举行，为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项比赛中的参与情况，在全市的中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：

(1)现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，求选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30人以下的概率.

(2)某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.

解　(1)记“选出的两所学校参与旱地冰壶人数在30人以下”为事件A，参与旱地冰壶人数在30人以下的学校共6所，随机选择2所学校共C＝15种，所以P＝＝.

因此选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30人以下的概率为.

(2)答案不唯一.答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化.

理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为C·0.12·0.9＋C·0.13＝0.028.

指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.

答案示例2：无法确定.理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为C·0.12·0.9＋C·0.13＝0.028.虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化.

例4 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求品酒师按品质优劣给它们排序，经过一段时间，等品酒师记忆淡忘之后，再让品酒师品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣给它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为品酒师评分.现设n＝4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X＝|1－a1|＋|2－a2|＋|3－a3|＋|4－a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.

(1)写出X的可能取值的集合；

(2)假设a1，a2，a3，a4等可能地取1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；

(3)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2.

①试按(2)中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立).

②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.

解　(1)如图，随着a1，a2，a3，a4取1，2，3，4四个数字的不同排列，X＝|1－a1|＋|2－a2|＋|3－a3|＋|4－a4|有0，2，4，6，8这样五个值可取，故X的取值集合为{0，2，4，6，8}.

(2)a1，a2，a3，a4等可能地取1，2，3，4的各种排列，分类画树形图列出所有情况可得P(X＝0)＝，P(X＝2)＝，P(X＝4)＝，P(X＝6)＝，P(X＝8)＝，

故X的分布列为：

(3)①P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝，三轮测试都有X≤2的概率P＝××＝.

②P＝≈0.004 63，可知三轮测试都有X≤2是一个小概率事件，说明只凭猜测得到三轮测试都是X≤2的结果的概率很小，所以如果一个品酒师在三轮测试中都有X≤2的结果，说明该品酒师的酒味鉴别能力很强，不是随意猜测得出的结论.