【最新版】高中数学（新北师大版）习题+同步课件培优课　焦点三角形在椭圆、双曲线中的应用

培优课　焦点三角形在椭圆、双曲线中的应用

焦点三角形指的是椭圆或双曲线上任一点(除去与焦点同轴的点)与两焦点连结而成的三角形.椭圆与双曲线两个焦点好比一双“明亮的眼睛”，而焦点三角形，是高考考查椭圆，双曲线的定义，几何性质，解三角形的重要素材.利用好焦点三角形可以使问题变得简洁而富有灵性.

类型一　焦点三角形的周长

在椭圆＋＝1，＋＝1(a＞b＞0)中焦点三角形的周长为：2a＋2c.

例1 (多选)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则(　　)

A.椭圆的焦点在y轴上 B.△ABF1的周长为6

C.△AF1F2的周长为6 D.椭圆C的方程为＋＝1

答案　CD

解析　显然椭圆的焦点在x轴上，A错误.设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，

c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，设A(c，y1)，代入方程可得＋＝1，求得y＝.由于|AB|＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为＋＝1，△ABF1的周长为4a＝8，△AF1F2的周长为2a＋2c＝6.故选CD.

例2 古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

答案　B

解析　∵焦点F1，F2在y轴上，∴可设椭圆标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意可得＝2a×2b＝4ab，∴S＝abπ＝8π，即ab＝8，∵△F2AB的周长为32，∴4a＝32，则a＝8，∴b＝，故椭圆方程为＋＝1.故选B.

类型二　焦点三角形的面积

椭圆或双曲线的焦点三角形的顶点为P，焦点为F1，F2，且∠F1PF2＝θ，则有：

(1)椭圆的焦点三角形的面积为：b2tan(b为短轴长度一半)；

(2)双曲线的焦点三角形的面积为：(b为虚轴长度一半).

例3 (1)椭圆＋＝1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的焦点，若AF2⊥BF2，则三角形AF2B的面积是(　　)

A.15   B.9  C.18   D.3

答案　B

解析　法一　如图，S△AF2B＝S△AF1F2＝b2tan＝9.

法二　如图所示，因为A，B关于原点对称，F1，F2关于原点对称，所以四边形AF1BF2是平行四边形，且AF2⊥BF2，所以四边形AF1BF2为矩形，则AF1⊥AF2，由椭圆方程可得：a＝5，b＝3，c＝4，设|AF1|＝m，|AF2|＝n，有解得：mn＝18，所以S△AF2B＝S△AF1F2＝mn＝9；故选B.

(2)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　B

解析　法一　设双曲线的另一个焦点为F1，由|OP|＝|OF|，可以得到三角形PFF1为直角三角形，所以S△OPF＝S△PFF1＝＝，故选B.

法二　设点P(x0，y0)，则－＝1①.

又|OP|＝|OF|＝＝3，

∴x＋y＝9②.由①②得y＝，即|y0|＝，∴S△OPF＝|OF|·|y0|＝×3×＝，故选B.

例4 (1)已知椭圆C：＋y2＝1(a＞1)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，若△MNF2的周长为8，则△MF1F2面积的最大值为(　　)

A.   B. 

C.2   D.3

答案　B

解析　由椭圆的定义可得△MNF2的周长为|MN|＋|MF2|＋|NF2|＝|MF1|＋|NF1|＋|MF2|＋|NF2|＝4a＝8，∴a＝2，b＝1，则c＝＝，

则△MF1F2面积的最大值为·2c·b＝bc＝，故选：B.

(2)已知点P是双曲线－＝1上的一点，点F1和F2为左、右焦点，若∠F1PF2＝60°.

①求△F1PF2的面积；

②求点P的坐标.

解　①由双曲线方程可知：a＝2，c＝2，

因为||PF1|－|PF2||＝2a＝4，

且cos ∠F1PF2＝＝，

所以(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|－48＝|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝48－16＝32，

所以S△F1PF2＝·|PF1|·|PF2|sin 60°＝×32×＝8.

②因为S△F1PF2＝·|F1F2|·|yP|＝8，所以|yP|＝＝＝4，

所以－＝1，所以x＝4＝12，

所以xP＝±2，

所以P点坐标为：(2，4)或(2，－4)或(－2，4)或(－2，－4).

类型三　利用焦点三角形求离心率

椭圆或双曲线的焦点三角形的顶点为P，焦点为F1，F2，且∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β.

在椭圆中，e＝＝＝＝＝≥sin ，

在双曲线中，e＝＝ ＝＝＝.

例5 (1)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　D

解析　法一　e＝＝，选D.

法二　设|PF2|＝t(t>0)，|PF1|＝2t，则|F1F2|＝t，即2a＝3t，2c＝t，e＝＝，选D.

(2)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　法一

∴≤e＜1.

法二　由椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°可得以原点为圆心，以c为半径的圆与椭圆有公共点，∴c≥b，

∴c2≥b2＝a2－c2，∴≥，

∴e＝≥.由0＜e＜1，∴≤e＜1，

即椭圆离心率e的取值范围是.选B.

例6 (1)已知点P在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，点F1，F2分别为C的左、右焦点，并满足PF1⊥PF2，|OP|＝|PF2|，则椭圆C的离心率为(　　)

A.   B.

C.－1   D.

答案　C

解析　法一　如图：由题意知，∠F1PF2＝，∠PF1F2＝，∠PF2F1＝ .

所以e＝＝＝＝－1.

法二　如图，由PF1⊥PF2，得△F1PF2为直角三角形，则|OP|＝|OF2|＝c，又|OP|＝|PF2|，∴|PF2|＝c，

由|PF1|＋|PF2|＝2a，可得|PF1|＝2a－c，则(2a－c)2＋c2＝4c2，即c2＋2ac－2a2＝0，∴e2＋2e－2＝0，又0＜e＜1，解得e＝－1.故选C.

(2)如图，F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则双曲线的离心率为________.

答案　＋1

解析　法一　如图：由题意知，∠F1AF2＝，∠AF1F2＝，∠AF2F1＝ ，

所以e＝ ＝＝＝＋1.

法二　连接AF1，因为F1F2是圆O的直径，所以∠F1AF2＝，即AF1⊥AF2，因为△ABF2是等边三角形，所以F1F2⊥AB，所以∠AF2F1＝∠AF2B＝，

所以在Rt△F1AF2中，|F1F2|＝2c，|F1A|＝|F1F2|＝c，|F2A|＝|F1F2|＝c.由双曲线的定义得2a＝|F2A|－|F1A|＝(－1)c，即c＝(＋1)a，所以双曲线的离心率为e＝＝＋1.