2021学年第三章 空间向量与立体几何3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算3.2 空间向量运算的坐标表示及其应用教案配套ppt课件

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第三章 空间向量与立体几何
3.2　空间向量运算的坐标表示及应用
课标要求
1.掌握空间向量运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积运算的坐标表示.3.能利用空间两点间的距离公式解决有关问题.
素养要求
通过学习空间向量运算的坐标表示，提升学生数学运算素养和数学抽象素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、空间向量的坐标1.思考　平面向量的坐标是如何定义的？
3.填空　(1)标准正交基 在空间直角坐标系O－xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作______向量i，j，k，这三个__________的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基. (2)空间向量的坐标 根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk，反之，任意给出一个三元有序实数组________________，也可找到唯一的一个向量p＝xi＋yj＋zk与之对应.把三元有序实数组________________叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝________________，单位向量i，j，k都叫作__________，xi，yj，zk实际上分别是向量p在i，j，k方向上所作的__________，x，y，z分别是向量p在i，j，k方向上所作投影向量的数量.
单位
互相垂直
(x，y，z)
(x，y，z)
(x，y，z)
坐标向量
投影向量
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的______________________.
终点坐标减去起点坐标
A
A
∴|BC|＝4，|DC|＝3，|CC1|＝2，∴C1的坐标为(0，3，2).
二、空间向量的坐标运算1.思考　类比平面向量中两向量的加法、减法、数乘向量以及数量积的坐标运算，能得到空间中两个向量的上述坐标运算吗？ 提示　若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2.
2.填空　设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)则有
(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
(x1－x2，y1－y2，z1－z2)
(λx1，λy1，λz1)，λ∈R
x1x2＋y1y2＋z1z2
B
3.做一做　(1)已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b等于(　　) A.(2，－4，2) B.(－2，4，－2) C.(－2，0，－2) D.(2，1，－3) 解析　b＝(a＋b)－a＝(－1，2，－1)－(1，－2，1)＝(－2，4，－2).
D
(2)已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于(　　)A.(16，0，4) B.(8，－16，4)C.(8，16，4) D.(8，0，4)解析　4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4).
提示　不一定，只有当x2，y2均不为0时才成立.
2.思考　在空间向量中，若a，b的夹角为钝角，则a·b＜0，反之成立吗？ 提示　不成立，当〈a，b〉＝π时，a·b＜0.
3.思考　若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，你能得到|a|和cos 〈a，b〉的计算方法吗？
4.填空 (1)相关坐标表示
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
D
(2，1，－4)
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 (1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________.(2)若2a－b＝(2，－4，3)，a＋2b＝(1，3，－1)，则cos〈a，b〉＝________.
-4
解析　(1)易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)，则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
同理可得y1＝－1，y2＝2，z1＝1，z2＝－1，即a＝(1，－1，1)，b＝(0，2，－1)，
关于空间向量坐标运算的两种形式(1)直接利用坐标公式首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标.
AC
解析　因为a＝(1，－2，－2)，b＝(6，－3，2)，所以a＋b＝(7，－5，0)，故A正确；a－b＝(－5，1，－4)，故B不正确；a·b＝1×6＋2×3－2×2＝8，故C正确；
(2)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.解析　据题意，有c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.
2
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
(1)已知两向量平行或垂直求参数值，可利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解.(2)利用向量也可证明直线、平面平行或垂直.需要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
训练2 已知向量a＝(－1，2，1)，b＝(3，x，y)，且a∥b，那么b的坐标为(　　) A.(3，－6，－3) B.(3，－3，－6) C.(3，2，1) D.(3，1，2)
A
∴B(2，2，0)，B1(2，2，4)，
由于a＞0，所以a＝2.
解法同①.
在利用空间向量的坐标运算求长度和夹角时，(1)首先写出相关点的坐标；进而得到待定向量的坐标.(2)代入两点间的距离公式或模的计算公式以及夹角公式即可.
解　如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
解　由题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
(3)求证：A1B⊥C1M.
利用空间向量的坐标运算的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标.(3)论证、计算.(4)下结论.
解　以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图.
训练4 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|CA|＝|CB|＝1，∠BCA＝90°，棱|AA1|＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点. (1)求BM，BN的长；
(2)求△BMN的面积.
解　以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图.
课堂小结
1.牢记三个知识点(1)空间向量坐标表示及其运算；(2)空间向量平行与垂直的坐标表示；(3)空间向量的长度与夹角坐标形式的表示.2.掌握两种方法：(1)类比转化，(2)数形结合.3.辨清两个易错点：(1)两向量共线直接利用对应坐标成比例；(2)直线的夹角误认为两向量的夹角.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
A
解析　∵a－b＋2c＝(9，3，0)，2
2.已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　) A.(－1，1，0) B.(1，－1，0) C.(0，－1，1) D.(－1，0，1)
B
代入各选项检验得b＝(1，－1，0)满足.
B
解析　由题意知，a＋2b＝(2x＋1，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)，∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，
BC
AC
6.若a＝(x，2，－4)，b＝(－1，y，3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则x＝________，y＝________，z＝________.
－64
－26
－17
解析　∵a⊥b，a⊥c，b⊥c，
8.如图，E是棱长为2的正方体的棱AA1的中点，F为棱AB上的一点，且∠C1EF＝90°，则线段AF的长为________.
解析　由题意，以点D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，并设AF＝t(0解得n＝±1，故c为(2，1，－2)或(－2，－1，2).
(2)已知向量ka＋b与b互相垂直， 求k的值；
由于ka＋b与b垂直，则(1－k，－k，－2)·(1，0，－2)＝1－k＋4＝0，k＝5.
(3)求△ABC的面积.
解　由题意，得正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，C(0，2，0)，设E(0，a，2)(0≤a≤2)，F(b，2，2)(0≤b≤2)，
则a＝b＝1，故存在点E(0，1，2)，F(1，2，2)，
BCD
二、能力提升
ACD
解析　以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
13.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点. (1)求证：EF⊥CF；
(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；(3)求CE的长.
解　建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则D(0，0，0)，
14.已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，且向量a＝(－1，1，3)，b＝(1，0，－2)，c＝a＋tb. (1)当|c|取最小值时，求t的值；
三、创新拓展
解　∵关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，∴Δ＝(t－2)2－4(t2＋3t＋5)≥0，
又c＝a＋tb＝(－1＋t，1，3－2t)，
(2)在(1)的情况下，求b和c夹角的余弦值.