2021-2022学年山东省泰安市宁阳县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）(解析版)

2021-2022学年山东省泰安市宁阳县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 对于一元二次方程，则它根的情况为(    )

A. 没有实数根 B. 两根之和是
C. 两根之积是 D. 有两个不相等的实数根

3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B. 且 C. 且 D.

5. 如图，，，，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，则四边形应具备的条件是(    )

A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分

6. 如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的周长之比是(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

7. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为：，则斜坡的长为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，四边形的对角线、相交于，且将这个四边形分成、、、四个三角形，若：：，则下列结论中一定正确的是(    )

A. 和相似 B. 和相似 C. 和相似 D. 和相似

11. 有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 矩形，菱形，正方形都具有的性质是(    )

A. 每一条对角线平分一组对角 B. 对角线相等
C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
14. 如图，菱形中，于，于，，则______．

15. 等边的边长为，点为边上一点，且，点为上一点，若，则长是______．
16. 如图，在平行四边形中，，，，过点作，垂足为，则______．

17. 如图，在正三角形中，，，分别是，，上的点，，，，则的面积与的面积之比等于______ ．

18. 观察下列各等式：
    ；
    ；
    ；
    
    根据以上规律，请写出第个等式：______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共78分）

19. 计算：
    ；
    ．
20. 解方程
    ；
    ．
21. 一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点处测得正前方水平地面上某建筑物的顶端的俯角为，面向方向继续飞行米到达点，测得该建筑物底端的俯角为，已知建筑物的高为米，求无人机飞行的高度结果精确到米，参考数据：，．

22. 列方程组解应用题
    端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
    小王：该水果的进价是每千克元；
    小李：当销售价为每千克元时，每天可售出千克；若每千克降低元，每天的销售量将增加千克．
    根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
23. 如图，点是菱形的对角线上一点，连结并延长，交于，交的延长线于点．
    求证：．
    如图，连接交于，连接，若，求证：∽．
     

24. 如图，点，分别在正方形的边，上，且，点，分别在边，上，且，垂足为．
    求证：；
    若正方形边长为，，，求的长度．

25. 如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，，过点作，分别交、于点，，连接，．
    求证：四边形是菱形；
    设，，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、原式，所以选项的计算错误；
B、原式，所以选项的计算错误；
C、原式，所以选项的计算正确；
D、原式，所以选项的计算错误．
故选：．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法和除法法则．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，，
，
一元二次方程没有实数根．
故选：．
根据方程的系数结合根的判别式，即可求出，进而可得出该方程没有实数根若方程有实数根，再利用根与系数的关系去验证，两个选项．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当时，方程没有实数根”是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：方程，
整理得：，
配方得：．
故选：．
方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意得：且，
解得：且，
故选：．
利用分式和二次根式以及零指数幂有意义的条件确定关于的不等式，从而确定答案．
此题考查的是分式，二次根式以及零指数幂有意义的条件，掌握其条件是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：要是四边形是矩形，应添加条件是对角线互相垂直，
理由是：连接、，两线交于，
根据三角形的中位线定理得：，，，，
，，
四边形一定是平行四边形，
，，
，
，
，
故选C．
根据三角形的中位线定理得到四边形一定是平行四边形，再推出一个角是直角，由矩形的判定定理可求解．
能够根据三角形的中位线定理证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形．掌握这些结论，以便于运用．
 

6.【答案】 

【解析】解：与位似，
∽，，
∽，
，即与的相似比为：，
与的周长之比为：，
故选：．
根据位似图形的概念得到，进而证明∽，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是位似图形的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边平行是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
解得，，
所以，．
故选：．
根据非负数的性质列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，
，米，
米，
根据勾股定理得：
米，
故选：．
先根据坡度的定义得出的长，进而利用勾股定理得出的长．
此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，难度适中．根据坡度的定义求出的长是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：法一、如图，

在中，，，
，
．
故选：．
法二、在中，，，
，
．
故选：．
由图可知，可把放在中，利用勾股定理可求出斜边的长，再利用余弦的定义可得．
本题主要考查勾股定理，锐角三角函数的定义等内容，题目比较简单，找到角所在的直角三角形是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在与中，
，
∽，
与相似，故B选项正确，
又由于与，与，与均不满足相似的判定条件，故A，，选项均不正确，
故选：．
利用相似三角形的判定定理，即两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可判定选项正确．
本题考查了相似三角形的判定，要特别注意隐藏条件，即，是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，依题意得，
即，
解方程得，舍去，
故选：．
患流行性感冒的人传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流行性感冒的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
 

12.【答案】 

【解析】解：矩形，菱形，正方形都具有的性质：对角线互相平分．故选C．
矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形具有的性质就是矩形，菱形，正方形都具有的性质．
本题主要考查的是对矩形，矩形，菱形，正方形的性质的理解．
 

13.【答案】且 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
即实数的取值范围是且．
故答案为：且．
根据一元二次方程根的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
于，于，
，
≌，
，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：．
由菱形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，证出是等边三角形，则可得出结论．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，

是等边三角形，
，，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，，
，
，
解得：，
故答案为：．
根据等边三角形性质求出，，推出，证∽，得出，代入求出即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，解题关键是推出∽，主要考查了学生的推理能力和计算能力．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
，
故答案为：．
过点作于点，由锐角三角函数定义求出，则，再由平行四边形的性质得，，然后由锐角三角函数定义得，最后由勾股定理求出的长，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，得出是解决本题的关键．
 

17.【答案】： 

【解析】解：是正三角形，
，
，，，
，
，
，，
是正三角形，
：：，：：，∽，
，，
：：，
的面积与的面积之比等于：．
故答案为：：．
首先根据题意求得：，即可证得是正三角形，又由直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得：：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．
此题考查了相似三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质．此题难度不是很大，解题时要注意仔细识图．
 

18.【答案】 

【解析】解：第个等式，等号左边根号外面是，二次根式的分子也是，分母是，等号右边是这个整数与这个分数的和的算术平方根，
故答案为：．
观察第一个等式，等号左边根号外面是，二次根式的分子也是，分母是，等号右边是这个整数与这个分数的和的算术平方根；观察第二个等式，等号左边根号外面是，二次根式的分子也是，分母是，等号右边是这个整数与这个分数的和的算术平方根；根据规律写出第个等式即可．
本题考查了探索规律，逐步找到规律是解题的关键，注意第个等式等号左边根号外面应该是．
 

19.【答案】解：


；



． 

【解析】先根据二次根式的乘法法则计算，再将二次根式化为最简二次根式并合并即可；
直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了实数的运算和二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：，
，
或，
解得，；
，
，即，
或，
，． 

【解析】将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

21.【答案】解：过作，交的延长线于，如图所示：
设米，
由题意得：米，，，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
，
解得：，
米，
答：无人机飞行的高度约为米． 

【解析】过作，交的延长线于，设米，由锐角三角函数定义求出米，米，再由米得出方程，求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义和锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

22.【答案】解：设降低元，超市每天可获得销售利润元，由题意得，
，
整理得，
或．
要尽可能让顾客得到实惠，
，
售价为元．
答：水果的销售价为每千克元时，超市每天可获得销售利润元． 

【解析】设降低元，超市每天可获得销售利润元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形菱形，
，，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
；
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
∽． 

【解析】根据菱形的性质，首先利用证明≌，得，，再说明∽，得，即可证明结论；
根据菱形的性质可说明，从而证明结论．
本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明是解决问题的关键．
 

24.【答案】证明：在正方形中，，
，
又，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：正方形边长为，，
，，
，
，
，
，
根据勾股定理，可得，
，
设，，
根据勾股定理，得，
解得，
，
． 

【解析】根据正方形的性质可得，，从而可证≌，即可得证；
根据正方形的性质以及，可得的长，再根据，设，，根据勾股定理，求出的值，进一步可得的长，从而可得的长．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 

25.【答案】证明：，，
四边形为平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：，，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
，
解得：，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
，
，，
四边形是菱形，
，
，
，
． 

【解析】证≌，得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
由勾股定理求出，则，再由菱形的性质得，，然后证四边形是菱形，得，则，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．