【最新版】高中数学（新人教A版）习题+同步课件限时小练12　利用空间向量求空间角

限时小练12　利用空间向量求空间角

1.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　　)

A.  B. 

C.   D.

答案　D

解析　设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如图，则D(0，0，0)，

B(1，1，0)，B1(1，1，1).易知平面ACD1的一个法向量为＝(1，1，1).又＝(0，0，1)，

则cos〈，〉＝＝＝.

故BB1与平面ACD1所成角的余弦值为＝.

2.已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，沿对角线AC折叠之后，使得平面BAC⊥平面DAC，则平面BCD与平面ACD夹角的余弦值为________.

答案　

解析　设菱形ABCD的边长为1，

取AC的中点O，连接BO、DO，

因为∠ABC＝60°，所以BO⊥AC，

又平面BAC⊥平面DAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，

所以BO⊥平面ACD，如图建系，

则O(0，0，0)，C(，0，0)，B(0，0，)，

D(0，，0)，

所以＝(0，0，)，＝(，0，－)，＝(－，，0).

设平面BCD的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

令z＝1，得x＝，y＝1，则n＝(，1，1)，易知平面CDA的一个法向量为＝(0，0，)，

所以|cos〈，n〉|＝＝.

3.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.

(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；

(2)求平面A1BD与平面A1AD夹角的正弦值.

解　在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E.

因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD.

如图，以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.

因为AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°，

则A(0，0，0)，B(，－1，0)，D(0，2，0)，

E(，0，0)，A1(0，0，)，C1(，1，).

(1)＝(，－1，－)，＝(，1，).

则cos〈，〉＝＝＝－.

因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.

(2)可知平面A1DA的一个法向量为＝(，0，0).

设m＝(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，

又＝(，－1，－)，＝(－，3，0)，

则

即

不妨取x＝3，则y＝，z＝2，

所以m＝(3，，2)为平面BA1D的一个法向量，

设平面A1BD与平面A1AD夹角的大小为θ，

从而cos θ＝|cos〈，m〉|＝＝＝.

因为θ∈[0，]，

所以sin θ＝＝.

因此平面A1BD与平面A1AD夹角的正弦值为.