2020-2021学年2.5 直线与圆、圆与圆的位置多媒体教学课件ppt

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1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程.
通过推导圆的一般方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1.思考　已知圆心(2，3)，半径为2.(1)写出圆的标准方程.提示　(x－2)2＋(y－3)2＝4.(2)上述方程能否化为二元二次方程的形式？提示　可以，x2＋y2－4x－6y＋9＝0.(3)方程x2＋y2－4x－6y＋13＝0是否表示圆？提示　配方化为(x－2)2＋(y－3)2＝0，不表示圆.(4)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆有什么条件？
当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆.
2.填空　(1)圆的一般方程的概念：当_________________时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程.
(2)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项.
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( )(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程. ( )提示　当满足D2＋E2－4F>0时，此方程才表示圆的方程.(3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0. ( )(4)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆. ( )提示　因为D2＋E2－4F＝1－4<0，故不表示任何图形.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.
解　由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4(1－5m)>0，
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法(1)配方法.对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆.(2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆.
特别提醒　在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数.
训练1 (1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为____________________；
解析　方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________.
由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心，
圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为
例2 已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程.解　设△ABC外接圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
即△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
待定系数法求圆的一般方程的步骤(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组.(3)解此方程组，求出D，E，F的值.(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.
训练2 已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程.
解　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).∵圆经过点(4，2)和(－2，－6)，
设圆在x轴上的截距为x1，x2，则它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，故x1＋x2＝－D.设圆在y轴上的截距为y1，y2，则它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，故y1＋y2＝－E.由已知，得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0.③联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20.∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
角度1　直接法求轨迹方程
解　设点M的坐标是(x，y)，
化简，得x2＋y2＋2x－3＝0，即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4.
角度2　代入法求轨迹方程
例4 已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程.
∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，
∴(2x)2＋(2y)2－8×2x－6×2y＋21＝0，
角度3　定义法求轨迹方程例5 已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程.
解　法一　设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1.
得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).
法二　同法一，得x≠3，且x≠－1.由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化简得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).
法三　设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0).
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).
求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明.(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程.特别提醒　在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，故应排除不合适的点.
训练3 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程. 解　以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则点A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0).
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点C不能在x轴上，∴y≠0.综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点.轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).
1.重要思想与方法(1)求圆的一般方程关键是确定D，E，F的值，其方法一般为待定系数法、几何法.(2)将圆的标准方程展开成二元二次方程的形式即得一般方程，将圆的一般方程配方即得标准方程.2.易错易混点提醒对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的一般方程时要特别注意D2＋E2－4F>0这一条件.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径长分别为(　　)A.(4，－6)，16 B.(2，－3)，4C.(－2，3)，4 D.(2，－3)，16 解析　由x2＋y2＋4x－6y－3＝0，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，故圆心为(－2，3)，半径长为4.
2.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是(　　)A.点 B.直线 C.线段 D.圆解析　∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，∴(a－1)2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心，1为半径的圆.故选D.
3.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在(　　)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
解析　因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，
解析　将原方程x2＋y2－4x＋2y＋F＝0化为(x－2)2＋(y＋1)2＝5－F.
所以△ACB是等腰直角三角形.又因为C(2，－1)，点A，B在y轴上，
5.圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是(　　)A.(x＋1)2＋(y－2)2＝5B.(x＋4)2＋(y－1)2＝5C.(x＋2)2＋(y－3)2＝5D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5解析　把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，∴圆心C(2，－1).设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，
∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.
6.已知点A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则实数m的取值范围是______________.
解析　因为A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，所以1＋4＋2＋6＋m＜0，解得m＜－13.
7.过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为_____________________.
x2＋y2－8x＋6y＝0
解析　设过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
故所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.
它表示以(1，0)为圆心，3为半径的在x轴上方的半圆(含与x轴的交点)，故t可以看作半圆上的动点(x，y)与定点(－1，－3)连线的斜率.如图：A(－1，－3)，B(4，0)，C(－2，0)，
9.已知P是圆x2＋y2＝16上的动点，A(12，0)，M为PA的中点，求点M的轨迹方程.解　设M(x，y)，∵A(12，0)，M为PA的中点，∴P(2x－12，2y).∵P为圆x2＋y2＝16上的动点，∴(2x－12)2＋4y2＝16，即(x－6)2＋y2＝4.故所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝4.
解　法一　设圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，①
令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④
∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤解②③⑤联立成的方程组，
故所求方程为：x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.法二　求得PQ的中垂线方程为x－y－1＝0.①∵所求圆的圆心C在直线①上，故设其坐标为(a，a－1)，
代入②并将两端平方，并整理得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5.
故所求圆的方程为：(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
所以D2＋E2＝20，②
12.已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是_____________；最长弦所在直线的方程为_____________.
解析　过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2，1)，
∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.由于直线过圆心C(2，1)时弦最长，此弦与最短弦垂直，故其斜率为1，此弦所在的直线方程为y－0＝x－1，即为x－y－1＝0.
13.设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作▱MONP，求点P的轨迹方程.
解　如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，
又点N在圆x2＋y2＝4上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.由于O，M，N共线时不能作▱MONP，因此点P的轨迹为圆，其轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
14.已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
解　已知x2＋y2－2x－4y＋m＝0，则D＝－2，E＝－4，F＝m.若此方程表示圆，则D2＋E2－4F＝20－4m>0，所以m<5.即m的取值范围为(－∞，5).
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
解　将x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0，得5y2－16y＋8＋m＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
因为OM⊥ON，所以x1x2＋y1y2＝0，所以5y1y2－8(y1＋y2)＋16＝0，
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程.