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数学选择性必修 第一册1.2.2 空间中的平面与空间向量课文配套课件ppt
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这是一份数学选择性必修 第一册1.2.2 空间中的平面与空间向量课文配套课件ppt，文件包含122空间中的平面与空间向量pptx、122空间中的平面与空间向量DOCX等2份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。
1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.2.掌握三垂线定理及其逆定理并会运用.3.会利用空间向量证明线面、面面的平行和垂直.
1.通过学习平面的法向量，提高学生的数学抽象素养.2.通过用向量证明线面、面面的平行和垂直，提高学生的逻辑推理、数学运算等素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、平面的法向量1.思考 过空间一点与已知平面α垂直的直线有多少条？过空间一点与已知直线l垂直的平面有多少个？提示 有且只有1条，有且只有1个.
2.填空 如果α是空间中的一个平面，n是空间的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个________，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α.温馨提醒 如果n是平面α的一个法向量，则对任意实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行，即平面的法向量有无限多个，它们互相平行.
二、线面、面面的平行与垂直1.思考 请同学们写出线面垂直、面面垂直的判定定理.提示 线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直；面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
2.填空 (1)直线与平面平行、垂直的判定v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则①n∥v⇔l⊥α；②n⊥v⇔________，或________.(2)两平面平行、垂直的判定n1，n2分别是平面α1，α2的法向量，则①n1⊥n2⇔α1⊥α1；②n1∥n2⇔____________，或______________.温馨提醒 直线的方向向量、平面的法向量都能确定直线、平面的方向，因此，利用平面的法向量与直线的方向向量可以探究直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系.
3.做一做 若直线l的方向向量为a＝(－1，0，－2)，平面α的法向量为u＝(4，0，8)，则( )A.l∥α B.l⊥αC.l⊂α D.l与α斜交
三、三垂线定理及逆定理1.思考 若一条直线l和一个平面α不垂直，则平面α内与直线l垂直的直线条数为多少？提示 无数条.
2.填空 (1)三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影______，则它也和这条斜线垂直.(2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.温馨提醒 (1)三垂线定理描述的是斜线PA，射影OA和直线a之间的垂直关系；(2)三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.
3.做一做 下列命题中正确的是( )A.如果直线l与平面α外的一条直线l′在平面α内的射影垂直，则l⊥l′B.如果直线l与平面α外的一条直线l′垂直，则l与l′在平面α内的射影垂直C.如果向量a和直线l在平面α内的射影垂直，则a⊥lD.如果非零向量a和平面α平行，且和直线l垂直，直线l不与平面α垂直，则a垂直于l在平面α内的射影解析 由三垂线定理的逆定理，知D正确.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
题型一 利用空间向量证明线面平行
解 由题意知，AB＝PA，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
∴P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，设E(0，y，z)，
应用向量法证明线面平行的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示，即用平面向量基本定理证明线面平行.
训练1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AB＝4，AA1＝2，点E，F，G分别是DD1，BD，AA1的中点，求证：D1G∥平面EFC.
令x＝1，解得y＝1，z＝4，∴n＝(1，1，4).
题型二 利用空间向量证明线面垂直
例2 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.
证明 如图所示，取BC的中点O，连接AO.
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO⊂平面ABC，∴AO⊥平面BCC1B1.
用坐标法证明线面垂直的方法及步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
训练2 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC＝2，E是PC的中点，求证：
证明 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
(2)PD⊥平面ABE.
设向量n＝(x，y，z)是平面ABE的法向量，
题型三 利用空间向量证明面面平行
例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点.设Q是CC1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，
令x＝1，则y＝1，z＝2，∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1，1，2).若平面D1BQ∥平面PAO，则n1也是平面D1BQ的一个法向量，
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
证明面面平行的方法设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R).
训练3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点.求证：平面ADE∥平面B1C1F.
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
令z1＝2，则y1＝－1，∴n1＝(0，－1，2).
设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量.
令z2＝2，得y2＝－1，∴n2＝(0，－1，2)，∵n1＝n2，∴平面ADE∥平面B1C1F.
题型四 利用空间向量证明面面垂直
证明 如图，以点A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1，1，0)，
又A1A∩AD＝A，A1A，AD⊂平面A1AD，∴BC⊥平面A1AD.又BC⊂平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.
证明 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
∵x轴⊥平面ACF，∴可取平面ACF的一个法向量为m＝(1，0，0).
取z＝1，得n＝(0，－2，1).∵m·n＝0，∴m⊥n，∴平面AEF⊥平面ACF.
题型五 三垂线定理及逆定理的应用
例5 如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，若O，Q分别是△ABC和△PBC的垂心，求证：OQ⊥平面PBC.
证明 如图，连接AO并延长交BC于点E，连接PE.
∵PA⊥平面ABC，AE⊥BC(由于O是△ABC的垂心)，∴BC⊥PE(三垂线定理)，∴点Q在PE上.
又OQ⊂平面PAE，∴BC⊥OQ.①连接BO并延长交AC于点F，则BF⊥AC.连接BQ并延长交PC于点M，则BM⊥PC.连接MF.∵PA⊥平面ABC，BF⊥AC，∴BF⊥PC(三垂线定理).
又OQ⊂平面BMF，∴PC⊥OQ.②又BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，故由①②，知OQ⊥平面PBC.
利用传统的几何法进行证明，在证明线面垂直时，首先应证明线线垂直，在证明线线垂直时，应用三垂线定理及其逆定理，可以使其过程简化.
∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，∴∠AC1C＝∠MA1C1，∴∠A1MC1＋∠AC1C＝∠A1MC1＋∠MA1C1＝90°，∴A1M⊥AC1.∵ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴B1C1⊥CC1.又∵B1C1⊥A1C1，A1C1∩CC1＝C1，∴B1C1⊥平面AC1，由三垂线定理知，AB1⊥A1M.
1.需牢记的基本概念与定理(1)平面的法向量及线面、面面平行或垂直的证明方法；(2)三垂线定理及逆定理.2.需注意的2个问题(1)用直线的方向向量，平面的法向量解决直线与平面、平面与平面的平行或垂直的关系问题，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算即可.(2)利用三垂线定理证明线线垂直，需先找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜线的射影，同时要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.若平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3，5)，v＝(－3，1，－4)，则( )A.α∥β B.α⊥βC.α，β相交但不垂直 D.以上均不正确解析 平面α，β的法向量既不共线又不垂直.
2.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的一个法向量为u＝(－2，0，－4)，则( )A.l∥α B.l⊥αC.l⊂α D.l与α斜交解析 ∵a∥u，∴l⊥α.
3.已知平面α的一个法向量是(2，3，－1)，平面β的一个法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )
解析 ∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行.
4.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量可以是( )
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z).
5.(多选)给出下列命题为真命题的是( )
对于B，a＝(0，1，－1)，n＝(1，－1，－1)，∴a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，∴a⊥n，∴l∥α或l⊂α，B错误；对于C，∵n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，∴n1与n2不共线，∴α∥β不成立，C错误；
6.已知平面α上的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则平面α的一个法向量为________(填序号).①(1，－1，1); ②(2，－1，1)；③(－2，1，1); ④(－1，1，1).
得x＝－2，y＝1，∴n＝(－2，1，1).
7.下列命题中：①若u，v分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v＝0；②若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直.正确的命题序号是________________.
解析 两平面垂直则它们的法向量垂直，反之亦然.
8.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给出下列结论：①直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；②直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)；④平面B1CD的一个法向量为(1，1，1).
解 以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
设n＝(x，y，z)为平面SDC的一个法向量，
取x＝2，得y＝－1，z＝1，故平面SDC的一个法向量为(2，－1，1).
10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点.证明：
设平面ADE的法向量为m＝(a，b，c)，
令b＝－1，则c＝2，∴m＝(0，－1，2).
又C1M⊄平面ADE，∴C1M∥平面ADE.
(2)平面ADE⊥平面A1D1F.
令y＝2，则n＝(0，2，1).∵m·n＝(0，－1，2)·(0，2，1)＝0－2＋2＝0，∴m⊥n.∴平面ADE⊥平面A1D1F.
11.(多选)已知直线l过点P(1，0，－1)且平行于向量a＝(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量可能是( )
∴AP⊥AD，即②正确；又∵AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，
13.在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.
令PA＝PB＝PC＝3，则A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，P(0，0，0).
而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC，又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.
解 ∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，∴如图，建立空间直角坐标系Axyz，
设平面PFD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.2.掌握三垂线定理及其逆定理并会运用.3.会利用空间向量证明线面、面面的平行和垂直.
1.通过学习平面的法向量，提高学生的数学抽象素养.2.通过用向量证明线面、面面的平行和垂直，提高学生的逻辑推理、数学运算等素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、平面的法向量1.思考 过空间一点与已知平面α垂直的直线有多少条？过空间一点与已知直线l垂直的平面有多少个？提示 有且只有1条，有且只有1个.
2.填空 如果α是空间中的一个平面，n是空间的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个________，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α.温馨提醒 如果n是平面α的一个法向量，则对任意实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行，即平面的法向量有无限多个，它们互相平行.
二、线面、面面的平行与垂直1.思考 请同学们写出线面垂直、面面垂直的判定定理.提示 线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直；面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
2.填空 (1)直线与平面平行、垂直的判定v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则①n∥v⇔l⊥α；②n⊥v⇔________，或________.(2)两平面平行、垂直的判定n1，n2分别是平面α1，α2的法向量，则①n1⊥n2⇔α1⊥α1；②n1∥n2⇔____________，或______________.温馨提醒 直线的方向向量、平面的法向量都能确定直线、平面的方向，因此，利用平面的法向量与直线的方向向量可以探究直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系.
3.做一做 若直线l的方向向量为a＝(－1，0，－2)，平面α的法向量为u＝(4，0，8)，则( )A.l∥α B.l⊥αC.l⊂α D.l与α斜交
三、三垂线定理及逆定理1.思考 若一条直线l和一个平面α不垂直，则平面α内与直线l垂直的直线条数为多少？提示 无数条.
2.填空 (1)三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影______，则它也和这条斜线垂直.(2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.温馨提醒 (1)三垂线定理描述的是斜线PA，射影OA和直线a之间的垂直关系；(2)三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.
3.做一做 下列命题中正确的是( )A.如果直线l与平面α外的一条直线l′在平面α内的射影垂直，则l⊥l′B.如果直线l与平面α外的一条直线l′垂直，则l与l′在平面α内的射影垂直C.如果向量a和直线l在平面α内的射影垂直，则a⊥lD.如果非零向量a和平面α平行，且和直线l垂直，直线l不与平面α垂直，则a垂直于l在平面α内的射影解析 由三垂线定理的逆定理，知D正确.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
题型一 利用空间向量证明线面平行
解 由题意知，AB＝PA，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
∴P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，设E(0，y，z)，
应用向量法证明线面平行的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示，即用平面向量基本定理证明线面平行.
训练1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AB＝4，AA1＝2，点E，F，G分别是DD1，BD，AA1的中点，求证：D1G∥平面EFC.
令x＝1，解得y＝1，z＝4，∴n＝(1，1，4).
题型二 利用空间向量证明线面垂直
例2 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.
证明 如图所示，取BC的中点O，连接AO.
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO⊂平面ABC，∴AO⊥平面BCC1B1.
用坐标法证明线面垂直的方法及步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
训练2 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC＝2，E是PC的中点，求证：
证明 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
(2)PD⊥平面ABE.
设向量n＝(x，y，z)是平面ABE的法向量，
题型三 利用空间向量证明面面平行
例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点.设Q是CC1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，
令x＝1，则y＝1，z＝2，∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1，1，2).若平面D1BQ∥平面PAO，则n1也是平面D1BQ的一个法向量，
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
证明面面平行的方法设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R).
训练3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点.求证：平面ADE∥平面B1C1F.
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
令z1＝2，则y1＝－1，∴n1＝(0，－1，2).
设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量.
令z2＝2，得y2＝－1，∴n2＝(0，－1，2)，∵n1＝n2，∴平面ADE∥平面B1C1F.
题型四 利用空间向量证明面面垂直
证明 如图，以点A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1，1，0)，
又A1A∩AD＝A，A1A，AD⊂平面A1AD，∴BC⊥平面A1AD.又BC⊂平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.
证明 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
∵x轴⊥平面ACF，∴可取平面ACF的一个法向量为m＝(1，0，0).
取z＝1，得n＝(0，－2，1).∵m·n＝0，∴m⊥n，∴平面AEF⊥平面ACF.
题型五 三垂线定理及逆定理的应用
例5 如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，若O，Q分别是△ABC和△PBC的垂心，求证：OQ⊥平面PBC.
证明 如图，连接AO并延长交BC于点E，连接PE.
∵PA⊥平面ABC，AE⊥BC(由于O是△ABC的垂心)，∴BC⊥PE(三垂线定理)，∴点Q在PE上.
又OQ⊂平面PAE，∴BC⊥OQ.①连接BO并延长交AC于点F，则BF⊥AC.连接BQ并延长交PC于点M，则BM⊥PC.连接MF.∵PA⊥平面ABC，BF⊥AC，∴BF⊥PC(三垂线定理).
又OQ⊂平面BMF，∴PC⊥OQ.②又BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，故由①②，知OQ⊥平面PBC.
利用传统的几何法进行证明，在证明线面垂直时，首先应证明线线垂直，在证明线线垂直时，应用三垂线定理及其逆定理，可以使其过程简化.
∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，∴∠AC1C＝∠MA1C1，∴∠A1MC1＋∠AC1C＝∠A1MC1＋∠MA1C1＝90°，∴A1M⊥AC1.∵ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴B1C1⊥CC1.又∵B1C1⊥A1C1，A1C1∩CC1＝C1，∴B1C1⊥平面AC1，由三垂线定理知，AB1⊥A1M.
1.需牢记的基本概念与定理(1)平面的法向量及线面、面面平行或垂直的证明方法；(2)三垂线定理及逆定理.2.需注意的2个问题(1)用直线的方向向量，平面的法向量解决直线与平面、平面与平面的平行或垂直的关系问题，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算即可.(2)利用三垂线定理证明线线垂直，需先找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜线的射影，同时要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.若平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3，5)，v＝(－3，1，－4)，则( )A.α∥β B.α⊥βC.α，β相交但不垂直 D.以上均不正确解析 平面α，β的法向量既不共线又不垂直.
2.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的一个法向量为u＝(－2，0，－4)，则( )A.l∥α B.l⊥αC.l⊂α D.l与α斜交解析 ∵a∥u，∴l⊥α.
3.已知平面α的一个法向量是(2，3，－1)，平面β的一个法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )
解析 ∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行.
4.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量可以是( )
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z).
5.(多选)给出下列命题为真命题的是( )
对于B，a＝(0，1，－1)，n＝(1，－1，－1)，∴a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，∴a⊥n，∴l∥α或l⊂α，B错误；对于C，∵n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，∴n1与n2不共线，∴α∥β不成立，C错误；
6.已知平面α上的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则平面α的一个法向量为________(填序号).①(1，－1，1); ②(2，－1，1)；③(－2，1，1); ④(－1，1，1).
得x＝－2，y＝1，∴n＝(－2，1，1).
7.下列命题中：①若u，v分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v＝0；②若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直.正确的命题序号是________________.
解析 两平面垂直则它们的法向量垂直，反之亦然.
8.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给出下列结论：①直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；②直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)；④平面B1CD的一个法向量为(1，1，1).
解 以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
设n＝(x，y，z)为平面SDC的一个法向量，
取x＝2，得y＝－1，z＝1，故平面SDC的一个法向量为(2，－1，1).
10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点.证明：
设平面ADE的法向量为m＝(a，b，c)，
令b＝－1，则c＝2，∴m＝(0，－1，2).
又C1M⊄平面ADE，∴C1M∥平面ADE.
(2)平面ADE⊥平面A1D1F.
令y＝2，则n＝(0，2，1).∵m·n＝(0，－1，2)·(0，2，1)＝0－2＋2＝0，∴m⊥n.∴平面ADE⊥平面A1D1F.
11.(多选)已知直线l过点P(1，0，－1)且平行于向量a＝(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量可能是( )
∴AP⊥AD，即②正确；又∵AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，
13.在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.
令PA＝PB＝PC＝3，则A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，P(0，0，0).
而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC，又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.
解 ∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，∴如图，建立空间直角坐标系Axyz，
设平面PFD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
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