人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.4 二面角教课课件ppt

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理解二面角和二面角的平面角的概念，会用几何法和向量法求二面角的大小.
1.通过学习二面角的相关概念，提升学生的数学抽象素养.2.通过二面角的求解，提高学生的直观想象、数学运算等素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、二面角1.思考　两个相交平面把空间分成几部分？其中产生几个半平面？提示　四部分，四个.
2.填空　(1)二面角的定义：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的____________所组成的图形称为二面角.如图所示，其中，直线l称为二面角的____，这两个半平面称为二面角的____.
(2)二面角的平面角在二面角αlβ的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的________.二面角的大小用它的平面角大小来度量.
(3)两个平面所成的角两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小.
3.做一做　如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是______________.
二、向量法求二面角1.思考　如图，两个平面的法向量的夹角与两平面所成的角有什么样的关系？
提示　两个平面的法向量的夹角与两平面所成的角相等或互补；如图(1)，θ＝〈n1，n2〉，此时相等；如图(2)，θ＝π－〈n1，n2〉，此时互补.
2.填空　用空间向量求二面角
 　 　　　(1)　　　　　　　　　(2)
3.做一做　已知二面角α－l－β，其中平面α的一个法向量m＝(1，0，－1)，平面β的一个法向量n＝(0，－1，1)，则二面角αlβ的大小可能为_____________.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
题型一　几何法求二面角
例1 如图，四边形ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A­－VB－­C的余弦值.
解　取VB的中点为E，连接AE，CE.∵VA＝AB＝BC＝VC，∴AE⊥VB，CE⊥VB.∴∠AEC是二面角A­－VB­－C的平面角.设AB＝a，连接AC，在△AEC中，
利用几何法求二面角的过程要体现一作、二证、三计算，即首先作出二面角的平面角，然后证明(或说明)所作角为什么是二面角的平面角，最后再计算出二面角的平面角大小.作二面角的平面角的方法：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法.
训练1 已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________.
解析　延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示.设正方体的棱长为3，则GB＝BC＝3，作BH⊥AG于点H，连接EH，由三垂线定理知AG⊥HE，则∠EHB为所求二面角的平面角.
题型二　无棱二面角的求法
例2 已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1，侧棱长为3，D，E分别是侧棱CC1和BB1上的点，且CD＝1，AD⊥DE，求截面ADE与底面ABC所成角的余弦值.
解　如图，设BE＝y，由已知可得，在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2，即12＋y2＝(12＋12)＋[12＋(y－1)2]，
训练2 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，E，F分别为棱BB1，DD1的中点，求平面AEC1F与平面ABCD所成的二面角的余弦值.解　如图，易知四边形AEC1F为菱形.
∵EB⊥平面AC，CC1⊥平面AC，FD⊥平面AC，∴正方形ABCD为菱形AEC1F在平面ABCD内的射影.连接AC1，EF，
题型三　向量法求二面角
例3 如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值.
解　如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
利用向量方法求二面角的大小时，多采用求法向量的方法，即求出两个面的法向量，然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小，但利用这种方法求解时，要注意结合图形观察分析，确定二面角是锐二面角还是钝二面角，不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来.
训练3 如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2.
(2)求二面角E－BC－F的正弦值.
不妨令z0＝－1，可得n0＝(1，0，－1).
所以MN∥平面CDE.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.正四面体相邻两个面所成角的余弦值为(　　)
2.已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为(　　)
3.(多选)若二面角α－l－β的大小为120°，则平面α与平面β的法向量的夹角可能为(　　)A.120° B.60° C.30° D.150°
4.正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　)A.30° B.45° C.60° D.90°
∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.
5.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C­BF­D的正切值为(　　)
7.若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是______________.
解析　设二面角大小为θ，由题意可知
所以θ＝60°或120°.
9.在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角.解　如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
∴平面EAC与平面ABCD的夹角为45°.
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)证明：平面AMD⊥平面CDE；(3)求二面角A－CD－E的余弦值.
解　由题意知AB，AD，AF两两互相垂直，如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，射线AB，AD，AF分别为x轴、y轴、z轴的正方向，
∴异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.
因此，CE⊥AM，CE⊥AD.又AM∩AD＝A，AM，AD⊂平面AMD，故CE⊥平面AMD.而CE⊂平面CDE，∴平面AMD⊥平面CDE.
令x＝1，可得y＝1，z＝1，即u＝(1，1，1).又由题设，平面ACD的一个法向量为v＝(0，0，1).
11.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，则二面角A－EF－A1的正弦值为(　　)
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
证明　由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.∵BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面CMD，又DM⊂平面CMD，故BC⊥DM.
又BC∩CM＝C，BC，CM⊂平面BMC，∴DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.
解　假设存在点E，设AE＝a(0≤a≤4).
E(3，a，0)，C1(0，4，2)，D(0，0，0).