选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.3 圆及其方程2.3.1 圆的标准方程教课内容课件ppt

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1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.能准确判断点与圆的位置关系.
1.通过探究圆的标准方程及点与圆的位置关系，培养学生的直观想象、逻辑推理素养.2.通过根据已知条件求圆的标准方程，培养学生的数学抽象和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、圆的标准方程1.思考　圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？提示　平面内到定点的距离等于定长的点的集合称为圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.确定圆的因素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
2.填空　(1)圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径.(2)圆的标准方程设圆的圆心是C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程是____________________.当圆的圆心在坐标原点，圆的半径为r时，圆的标准方程是__________.
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
3.做一做　圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程是(　　)A.x2＋(y－2)2＝1B.x2＋(y＋2)2＝1C.(x－1)2＋(y－3)2＝1D.x2＋(y－3)2＝1
二、点与圆的位置关系1.思考　请问点与圆有几种位置关系？如何判断？提示　三种关系，分别是：圆上、圆内、圆外.点在圆上时，点到圆心的距离等于半径；点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径；
2.填空　如果⊙C的圆心为C(a，b)，半径为r(r＞0).点M0(x0，y0)在⊙C上的充要条件为(x0－a)2＋(y0－b)2＝______；点M1(x1，y1)在⊙C外的充要条件为(x1－a)2＋(y1－b)2______r2；点M0(x0，y0)在⊙C内的充要条件为(x0－a)2＋(y0－b)2______r2；温馨提醒　判断点与圆的位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.
3.做一做　若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
题型一　点与圆的位置关系
例1 已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围.解　由题意，点A在圆C上或圆C的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，
训练1 点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)A.在圆外 B.在圆内C.在圆上 D.不确定解析　把点P(m2，5)代入x2＋y2得m4＋25>24，故点P在圆外.
题型二　求圆的标准方程
(x－2)2＋y2＝9
解得a＝2，∴C(2，0).
(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为__________________.
(x＋5)2＋(y＋3)2＝25
解析　∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
角度2　待定系数法求圆的标准方程例3 求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程.解　法一(待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
法二(几何法)由题意知，OP是圆的弦，其垂直平分线方程为x＋y－1＝0.∵弦的垂直平分线过圆心，
(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.(2)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
训练2 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程.解　法一　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，
故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
题型三　与圆有关的最值问题
例4 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3，求x2＋y2的最大值和最小值.解　x2＋y2表示圆上的点与原点的距离的平方.由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，
形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离平方的最值问题.
解　由题意知，x2＋y2－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2表示圆上的点到点(1，1)的距离的平方，显然当圆上的点与点(1，1)的距离取最大值和最小值时，其平方也相应地取得最大值和最小值.
1.一个方程与一个关系(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)点与圆的位置关系.2.求圆的方程的方法(1)确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.(2)依据题意适时的运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.圆心为(1，－2)，半径为3的圆的标准方程是(　　)A.(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B.(x－1)2＋(y＋2)2＝3C.(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝9解析　将圆心(1，－2)，r＝3代入圆的标准方程形式即得.
2.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)A.x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0C.x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0解析　圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0，3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.
3.圆的一条直径的两个端点是(2，0)，(2，－2)，则此圆的方程为(　　)A.(x－2)2＋(y－1)2＝1B.(x－2)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1D.(x＋2)2＋(y＋1)2＝1解析　圆心坐标为(2，－1)，又直径长为2R＝2，∴R＝1.∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
4.(多选)已知圆C过点P(1，0)和点Q(0，1)，且圆C的半径为1，则圆C的方程可能为(　　)A.(x－1)2＋(y＋1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.x2＋y2＝1D.(x－1)2＋(y－1)2＝1解析　由条件设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，
6.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为________________.
x2＋(y－2)2＝1
解析　设圆的方程为(x－0)2＋(y－b)2＝1，把(1，2)代入得12＋(2－b)2＝1，∴b＝2.∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
8.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度AB＝40米，拱高OP＝10米，建造时每隔8米需要用一根支柱支撑，则支柱A2P2的高度大约是________米.
解析　如图，以O为原点，以AB为x轴，以OP为y轴建立平面直角坐标系.
设圆心坐标为(0，a)，P(0，10)，A(－20，0)，则圆拱所在圆的方程为x2＋(y－a)2＝r2，
∴圆的方程为x2＋(y＋15)2＝625，将x＝－4代入圆的方程，得y＝|A2P2|≈9.7(米).
9.求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程.解　法一　设点C为圆心，∵点C在直线x－2y－3＝0上，∴可设点C的坐标为(2a＋3，a).又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
10.已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求：(1)周长最小的圆的标准方程；
则圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)圆心在直线2x－y－4＝0上的圆C的标准方程.
解　由题意知，圆心C为AB的垂直平分线与直线2x－y－4＝0的交点.
所以圆C的标准方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
解析　设圆心C(a，b)，半径为r，易得线段AB的中点为M(2，1).
所以(a－2)2＋(b－1)2＝10，②
即C(－1，0)或C(5，2)，所以r2＝|CA|2＝20，故圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20或(x－5)2＋(y－2)2＝20.
12.已知以点C为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上，则圆C的方程为____________________；设点P在圆C上，△PAB的面积的最大值为________.
(x＋3)2＋(y－6)2＝40
解析　 根据题意，所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x＋3y－15＝0的交点.因为AB中点为(1，2)，斜率为1，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3，
13.已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)， (1)求圆C的标准方程；
(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值.
∴圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
14.如图，l1，l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M，N两地之间的铁路是圆心在l2上的一段圆弧，若点M在O正北方向，且|MO|＝3 km，点N到l1，l2的距离分别为4 km和5 km.(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；
解　 分别以l2，l1为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
由题意得M(0，3)，N(4，5)，
解　设校址选在B(a，0)(a＞4)，
整理得(8－2a)x＋a2－20≥0，对0≤x≤4恒成立.令f(x)＝(8－2a)x＋a2－20.∵a＞4，∴8－2a＜0，∴f(x)在[0，4]上为减函数.
即校址选在距O最近6 km的地方.