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人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.4 曲线与方程课文内容ppt课件
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这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.4 曲线与方程课文内容ppt课件，文件包含24曲线与方程pptx、24曲线与方程DOCX等2份课件配套教学资源，其中PPT共44页， 欢迎下载使用。
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步学会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.掌握求轨迹方程的几种常用方法.
通过求曲线的方程和根据方程研究曲线的性质，培养学生的数学抽象、直观想象和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1.思考 我们在前面2.3单元中学习了圆及其方程，如何理解以C(a，b)为圆心，半径为r(r＞0)的⊙C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2?提示 ⊙C上的点的坐标都是方程的解，即满足|PC|＝r的任意点P的坐标都是方程的解；以方程的解为坐标的点P都在⊙C上，即|PC|＝r.
2.填空 曲线的方程与方程的曲线(1)曲线的方程与方程的曲线的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：①曲线C上的点的______都是方程F(x，y)＝0的解；②以方程F(x，y)＝0的____为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为________的方程.(2)求动点M轨迹方程的一般步骤①设动点M的坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建系)；②写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来；③化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程.
温馨提醒 曲线的方程的定义中，(1)与(2)缺一不可，而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一组实数解而言的.
3.做一做 到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为 _____________________________.
4x＋3y－10＝0或4x＋3y＝0
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
题型一 曲线的方程与方程的曲线
例1 (1)(多选)命题“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”是真命题，则下列命题中不正确的是( )A.方程F(x，y)＝0的曲线是CB.方程F(x，y)＝0的曲线不一定是曲线CC.F(x，y)＝0是曲线C的方程D.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
解析 “曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”，但“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A，C，D都不正确，B正确.
(2)在平面直角坐标系中，方程|x|·y＝1表示的曲线是( )
解析 由题意知x≠0，则方程|x|·y＝1，
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性.(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.
题型二 直接法求曲线方程
例2 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍，求动点P的轨迹方程.
化简得3x2＋4y2＝48.故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件.(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明.
训练2 如图，线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝2a(a＞0)，|CD|＝2b(b＞0)，动点P满足|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求动点P的轨迹方程.
题型三 相关点法求曲线方程
例3 动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程.
解 设P(x，y)，M(x0，y0)，
解 设P(x，y)，M(x0，y0).
又因为M在曲线x2＋y2＝1上，所以(3x－6)2＋9y2＝1.
训练3 已知△ABC的两顶点A，B的坐标分别为A(0，0)，B(6，0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程.
∵顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2＋3上，∴3y＝(3x－6)2＋3，整理得y＝3(x－2)2＋1＝3x2－12x＋13.故所求的轨迹方程为y＝3x2－12x＋13.
题型四 定义法求曲线方程
例4 已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.
如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征.
训练4 已知定长为6的线段，其端点A，B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程.解 作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知
所以M的轨迹是以原点O为圆心，以3为半径的圆，故点M的轨迹方程为x2＋y2＝9.
1.曲线的方程和方程的曲线满足的两个条件(1)曲线上点的坐标都是方程的解；(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上；(3)点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程.2.求曲线的方程需要注意的问题(1)坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同.(2)一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x′，y′)等.(3)如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，或找回属于轨迹而遗漏的点.(4)“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么( )A.曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0B.凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在C上C.不在C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0D.不在C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0
解析 点的坐标适合曲线方程是点在曲线上的充要条件.
2.方程x2＋xy＝x表示的曲线是( )A.一个点 B.一条直线C.两条直线 D.一个点和一条直线解析 由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线.故选C.
3.与点A(－1，0)和点B(1，0)的连线的斜率之积为－1的动点P的轨迹方程是( )
4.(多选)若曲线C的方程为y＝2x－1(1＜x＜5)，则下列四个点中在曲线C上的是( )A.(0，0) B.(7，15) C.(2，3) D.(4，7)
解析 由y＝2x－1(1＜x＜5)得A，B的横坐标不满足题意，C，D项中坐标代入满足方程，故选CD.
5.(多选)下列方程对应的曲线与曲线y＝x是同一条曲线的是( )
6.点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.
8.已知定点A(0，1)，直线l1：y＝－1，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹方程为________________.
所以原方程表示圆心在坐标原点，半径为2的圆和斜率为－1，纵截距为1的直线在圆x2＋y2＝4的外面的部分，如图所示.
10.如图，过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解 设点M的坐标为(x，y).∵M为线段AB的中点，∴点A的坐标为(2x，0)，点B的坐标为(0，2y).∵ l1⊥l2，且l1，l2过点P(2，4)，∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1.
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1).∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2，0)，(0，4)，∴线段AB的中点坐标是(1，2)，它满足方程x＋2y－5＝0.综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
11.(多选)下列结论中正确的是( )
12.已知y＝a|x|和y＝x＋a(a＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是( )A.a＞1 B.0＜a＜1C.0＜a＜1或a＞1 D.a∈∅
13.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上异于点A的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；
解 设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y).因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2).
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
解 设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
解 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0).
又∵两圆的半径均为1，∴|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1).设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33.∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步学会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.掌握求轨迹方程的几种常用方法.
通过求曲线的方程和根据方程研究曲线的性质，培养学生的数学抽象、直观想象和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1.思考 我们在前面2.3单元中学习了圆及其方程，如何理解以C(a，b)为圆心，半径为r(r＞0)的⊙C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2?提示 ⊙C上的点的坐标都是方程的解，即满足|PC|＝r的任意点P的坐标都是方程的解；以方程的解为坐标的点P都在⊙C上，即|PC|＝r.
2.填空 曲线的方程与方程的曲线(1)曲线的方程与方程的曲线的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：①曲线C上的点的______都是方程F(x，y)＝0的解；②以方程F(x，y)＝0的____为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为________的方程.(2)求动点M轨迹方程的一般步骤①设动点M的坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建系)；②写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来；③化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程.
温馨提醒 曲线的方程的定义中，(1)与(2)缺一不可，而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一组实数解而言的.
3.做一做 到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为 _____________________________.
4x＋3y－10＝0或4x＋3y＝0
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
题型一 曲线的方程与方程的曲线
例1 (1)(多选)命题“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”是真命题，则下列命题中不正确的是( )A.方程F(x，y)＝0的曲线是CB.方程F(x，y)＝0的曲线不一定是曲线CC.F(x，y)＝0是曲线C的方程D.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
解析 “曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”，但“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A，C，D都不正确，B正确.
(2)在平面直角坐标系中，方程|x|·y＝1表示的曲线是( )
解析 由题意知x≠0，则方程|x|·y＝1，
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性.(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.
题型二 直接法求曲线方程
例2 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍，求动点P的轨迹方程.
化简得3x2＋4y2＝48.故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件.(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明.
训练2 如图，线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝2a(a＞0)，|CD|＝2b(b＞0)，动点P满足|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求动点P的轨迹方程.
题型三 相关点法求曲线方程
例3 动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程.
解 设P(x，y)，M(x0，y0)，
解 设P(x，y)，M(x0，y0).
又因为M在曲线x2＋y2＝1上，所以(3x－6)2＋9y2＝1.
训练3 已知△ABC的两顶点A，B的坐标分别为A(0，0)，B(6，0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程.
∵顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2＋3上，∴3y＝(3x－6)2＋3，整理得y＝3(x－2)2＋1＝3x2－12x＋13.故所求的轨迹方程为y＝3x2－12x＋13.
题型四 定义法求曲线方程
例4 已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.
如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征.
训练4 已知定长为6的线段，其端点A，B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程.解 作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知
所以M的轨迹是以原点O为圆心，以3为半径的圆，故点M的轨迹方程为x2＋y2＝9.
1.曲线的方程和方程的曲线满足的两个条件(1)曲线上点的坐标都是方程的解；(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上；(3)点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程.2.求曲线的方程需要注意的问题(1)坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同.(2)一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x′，y′)等.(3)如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，或找回属于轨迹而遗漏的点.(4)“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么( )A.曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0B.凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在C上C.不在C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0D.不在C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0
解析 点的坐标适合曲线方程是点在曲线上的充要条件.
2.方程x2＋xy＝x表示的曲线是( )A.一个点 B.一条直线C.两条直线 D.一个点和一条直线解析 由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线.故选C.
3.与点A(－1，0)和点B(1，0)的连线的斜率之积为－1的动点P的轨迹方程是( )
4.(多选)若曲线C的方程为y＝2x－1(1＜x＜5)，则下列四个点中在曲线C上的是( )A.(0，0) B.(7，15) C.(2，3) D.(4，7)
解析 由y＝2x－1(1＜x＜5)得A，B的横坐标不满足题意，C，D项中坐标代入满足方程，故选CD.
5.(多选)下列方程对应的曲线与曲线y＝x是同一条曲线的是( )
6.点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.
8.已知定点A(0，1)，直线l1：y＝－1，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹方程为________________.
所以原方程表示圆心在坐标原点，半径为2的圆和斜率为－1，纵截距为1的直线在圆x2＋y2＝4的外面的部分，如图所示.
10.如图，过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解 设点M的坐标为(x，y).∵M为线段AB的中点，∴点A的坐标为(2x，0)，点B的坐标为(0，2y).∵ l1⊥l2，且l1，l2过点P(2，4)，∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1.
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1).∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2，0)，(0，4)，∴线段AB的中点坐标是(1，2)，它满足方程x＋2y－5＝0.综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
11.(多选)下列结论中正确的是( )
12.已知y＝a|x|和y＝x＋a(a＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是( )A.a＞1 B.0＜a＜1C.0＜a＜1或a＞1 D.a∈∅
13.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上异于点A的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；
解 设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y).因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2).
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
解 设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
解 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0).
又∵两圆的半径均为1，∴|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1).设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33.∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
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