【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件培优课　空间直角坐标系的构建策略

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培优课　空间直角坐标系的构建策略利用空间向量的方法解决立体几何中空间元素的位置关系，空间角、空间距离等问题，关键是依托图形建立适当空间直角坐标系，将直线的方向向量，平面的法向量用坐标表示，通过向量运算完成.如何建立空间直角坐标系，写出点的坐标是前提，下面主要介绍空间直角坐标系建系的几种方法.类型一　利用共顶点三条垂直棱建系例1 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点. (1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.解　(1)以点A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，4)，D(1，1，0)，C1(0，2，4)，∴＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4)，∴cos〈，〉＝＝，又异面直线所成角的范围是，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)＝(0，2，0)是平面ABA1的一个法向量.设平面ADC1的法向量为n＝(x，y，z)，∵＝(1，1，0)，＝(0，2，4)，∴即取n＝(2，－2，1).设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ，则|cos θ|＝|cos〈，n〉|＝＝，∴sin θ＝，∴平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.类型二　利用线面垂直关系建系例2 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. 解　取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，AE＝＝＝.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N，＝(0，2，－4)，＝，＝.设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n＝(0，2，1).于是|cos〈n，〉|＝＝.设AN与平面PMN所成的角为θ，则sin θ＝，∴直线AN与平面PMN所成的角的正弦值为.类型三　利用面面垂直关系建系例3 如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点. (1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.(1)证明　连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC.如图，以点E为坐标原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz.不妨设AC＝4，则A1(0，0，2)，B(，1，0)，B1(，3，2)，F，C(0，2，0)，因此＝，＝(－，1，0).由·＝0，得EF⊥BC.(2)解　设直线EF与平面A1BC所成角为θ.由(1)可得＝(－，1，0)，＝(0，2，－2).设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z).由得取x＝1，得平面A1BC的一个法向量为n＝(1，，1)，故sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.则直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.类型四　利用底面的高及中心建系例4 如图，在正四棱锥S－ABCD中，AB＝2，SA＝3，P为侧棱SD上的点. (1)若SD⊥平面PAC，求二面角PACD的余弦值.(2)若SP＝2PD，侧棱SC上是否存在一点E(不与点S，C重合)，使得BE∥平面PAC？若存在， 求出SE∶EC的值；若不存在，请说明理由.解　 (1)如图，连接BD，交AC于点O，连接SO， 由题意，知SO⊥平面ABCD，AC⊥BD，∴OS，OB，OC两两垂直.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.∵AB＝2，SA＝3，∴SO＝.由题意得S(0，0，)，D(－，0，0)，∴＝(，0，).∵SD⊥平面PAC，∴平面PAC的一个法向量为＝(，0，).又平面DAC的一个法向量为＝(0，0，)，∴cos〈，〉＝＝＝，由图可知二面角PACD为锐二面角，∴所求二面角的余弦值为.(2)假设在棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC.如图，在SC上取点E，连接BE.由题意，得＝＝.又A(0，－，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，∴＝(0，2，0)，＝(－，，0)，＝(0，－，)，＝(－，，0)，∴＝＋＝(－，，0)＋＝.设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，得n＝为平面PAC的一个法向量.设＝t(0<t<1)，则＝＋＝＋t＝(－，，0)＋t(0，－，)＝(－，(1－t)，t).则BE∥平面PAC，得·n＝0，即－＋×t＝0，解得t＝，∴侧棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC，此时SE∶EC＝1∶1.