【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件培优课　最值与对称问题

培优课　最值与对称问题

1.与直线有关的最值问题，首先根据所求式子的特征确定其几何意义，将问题转化为两点间的距离，点到直线的距离等，并分析点与直线的位置关系，从而确定最值.

2.与直线有关的对称问题，主要有关于点的对称，或关于直线对称的问题：

(1)点关于点对称

点P(x0，y0)关于点A(m，n)的对称点P′(x′，y′)可利用中点坐标公式求得，由得

(2)点关于直线对称

设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在已知直线上且直线PP′与已知直线垂直.

即解此方程组可得x′，y′，即得点P′的坐标.

(3)直线关于点对称

直线Ax＋By＋C＝0关于点P(x0，y0)的对称直线的方程的求法：求出直线上的两个特殊点M，N关于点P的对称点M′，N′的坐标，则直线M′N′的方程即所求的直线方程.

(4)直线关于直线对称

①若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程；

②若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解.

类型一　由点到直线的距离求最值

例1 (1)已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则的最小值为________.

(2)点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________.

答案　(1)　(2)8

解析　(1)∵

＝，

∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0，1)的距离，

即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离，∴|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，

即|MN|min＝d＝＝.

(2)x2＋y2表示的是直线x＋y－4＝0上的点与原点之间的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方，所以(x2＋y2)min＝＝8.

类型二　由两点的距离或两平行线的距离求最值

例2 (1)点P(2，3)到直线ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为(　　)

A.3，－3   B.5，2 

C.5，1   D.7，1

(2)已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，则的最小值为(　　)

A.   B. 

C.1   D.

答案　(1)C　(2)C

解析　(1)由直线ax＋(a－1)y＋3＝0过定点A(－3，3)，当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与A，P两点所在直线垂直时，距离d最大，最大值为dAP＝5，此时a＝1.

(2)取点P(m，n)，Q(a，b)，

则＝|PQ|.

由已知3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，

可得点P在直线l1：3x＋4y－6＝0上，

点Q在直线l2：3x＋4y－1＝0上.

显然两直线平行，所以|PQ|的最小值就是两平行线之间的距离，即＝1.

类型三　中心对称问题

例3 (1)求点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点P′的坐标；

(2)求直线3x－y－4＝0关于点(2，－1)的对称直线l的方程.

解　(1)根据题意可知点A(a，b)为PP′的中点，设点P′的坐标为(x，y)，

则根据中点坐标公式，得所以

所以点P′的坐标为(2a－x0，2b－y0).

(2)法一　设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，

且M1在直线3x－y－4＝0上，

所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，即3x－y－10＝0.

所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0.

法二　在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)，

则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A1(4，2)，

点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1).

可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0，

即所求直线l的方程为3x－y－10＝0.

法三　由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行，

则可设l的方程为3x－y＋c＝0(c≠－4).

在直线3x－y－4＝0上取一点(0，－4)，

则点(0，－4)关于点(2，－1)的对称点(4，2)在直线3x－y＋c＝0上，

∴3×4－2＋c＝0，∴c＝－10.

∴所求直线l的方程为3x－y－10＝0.

类型四　轴对称问题

例4 (1)点P(－3，4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(　　)

A.(－2，1)   B.(－2，5)

C.(2，－5)   D.(4，－3)

答案　B

解析　设对称点Q的坐标为(a，b)，由题意，

得解得即Q(－2，5).

(2)已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1＝0，若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程.

解　法一　因为l1∥l，所以l2∥l，

设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3且m≠－1)，

因为直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l，l2与l间的距离相等.

由两平行直线间的距离公式，

得＝，

解得m＝－5或m＝3(舍去)，

所以直线l2的方程为x－y－5＝0.

法二　因为l1∥l，l2∥l，

设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3且m≠－1)，

在直线l1上取一点M(0，3)，

设点M关于直线l的对称点为M′(a，b)，

则有解得即M′(4，－1).

把点M′(4，－1)代入直线l2的方程，得m＝－5，所以直线l2的方程为x－y－5＝0.

类型五　光的反射问题

例5 一束光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程.

解　如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，

由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得

解得

∴点A的坐标为(4，3).

∵反射光线的反向延长线过点A(4，3)，

又由反射光线过P(－4，3)，A，P两点纵坐标相等，

故反射光线所在直线的方程为y＝3.

联立解得

由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3.

由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，

由A(4，3)，P(－4，3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，

即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.

类型六　利用对称求最值问题

例6 在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得：

(1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差最大；

(2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小.

解　 (1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，

则kBB′·kl＝－1，即·1＝－1，

∴a＋b－4＝0，①

∵BB′的中点在直线l上，

∴－－1＝0，即a－b－6＝0.②

由①②得

∴点B′的坐标为(5，－1).

于是AB′所在直线的方程为＝，即2x＋y－9＝0.

易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，当且仅当P，B′，A三点共线时，

||PB′|－|PA||最大.

∴联立直线l与AB′的方程，解得x＝，y＝，

即l与AB′的交点坐标为.

故点P的坐标为.

(2)如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1，2)，

∴AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0.

易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，

当且仅当Q，A，C ′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小.

∴联立直线AC′与l的方程，解得x＝，y＝，

即AC′与l的交点坐标为.

故点Q的坐标为.