【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件进阶训练1　(范围：1.1.1～1.1.3)

进阶训练1　(范围：1.1.1～1.1.3)

一、基础达标

1.下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是(　　)

A.＝＋＋

B.＝＋

C.＝＋＋

D.＝2－

答案　C

解析　对于A，由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)⇔M，A，B，C四点共面知，，，共面；对于B，D，可知，，共面，故选C.

2.已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|＝(　　)

A.3   B.2 

C.   D.5

答案　A

解析　a－b＋2c＝(9，3，0)，|a－b＋2c|＝3.

3.已知向量a＝(2，n，－1)，b＝(1，－2，1)，若a－b与b垂直，则|a|＝(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　∵a＝(2，n，－1)，b＝(1，－2，1)，

∴a－b＝(1，n＋2，－2).

∵a－b与b垂直，

∴(a－b)·b＝0，

∴1－2(n＋2)－2＝0，

解得n＝－，

∴a＝，

∴|a|＝＝.

4.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　)

A.a－b＋c

B.a－b－c

C.a－b＋c

D.a－b＋c

答案　C

解析　由E为PD的中点知，＝(＋)

＝－＋(＋)

＝－b＋(－＋－)

＝a－b＋c.

5.(多选)若a＝(－1，λ，－2)，b＝(2，－1，1)，a与b的夹角为120°，则λ的值为(　　)

A.17   B.－17 

C.－1   D.1

答案　AC

解析　a·b＝－2－λ－2＝－λ－4，

|a|＝＝，

|b|＝＝，

∴cos 120°＝＝＝－，

∴λ＝17或λ＝－1.

6.已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，使a⊥b成立的x与使a∥b成立的x分别为________.

答案　，－6

解析　当a⊥b时，－8－2＋3x＝0，解得x＝，当a∥b时，＝＝，解得x＝－6.

7.如图，平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝AD＝1，AA′＝2，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________.

答案　

解析　||2＝|＋＋|2

＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·

＝12＋12＋22＋2×1×1·cos 60°＋2×1×2·cos 60°＋2×1×2·cos 60°＝11，

则||＝.

8.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.

答案　60°

解析　由条件知(a＋3b)·(7a－5b)

＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，

(a－4b)·(7a－2b)

＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，

两式相减得46a·b＝23|b|2，

所以a·b＝|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，

所以cos〈a，b〉＝＝＝，

所以〈a，b〉＝60°.

9.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：

(1)·；(2)EG的长；

(3)与所成角的余弦值.

解　设＝a，＝b，＝c.

则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

(1)＝＝c－a，＝－a，

·＝·(－a)

＝a2－a·c＝.

(2)＝＋＋

＝a＋b－a＋c－b

＝－a＋b＋c，

||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋

b·c－c·a＝，则||＝.

(3)＝b＋c，

＝＋＝－b＋a，

cos〈，〉＝＝－.

10.已知向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，a∥b，b⊥c.

(1)求x，y，z的值；

(2)求向量a＋c与b＋c所成角的余弦值.

解　(1)∵向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，且a∥b，b⊥c，

∴，解得.

(2)由(1)知，向量a＝(－1，1，2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3，1，1)，

∴a＋c＝(2，2，3)，b＋c＝(4，0，－1)，

∴(a＋c)·(b＋c)

＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，

|a＋c|＝＝，

|b＋c|＝＝，

∴向量a＋c与b＋c所成角的余弦值为＝.

二、能力提升

11.(多选)已知长方体ABCD－A1B1C1D1，下列向量的数量积可能为0的是(　　)

A.·   B.·

C.·   D.·

答案　AD

解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，

设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，

则A(a，0，0)，B(a，b，0)，C(0，b，0)，A1(a，0，c)，B1(a，b，c)，C1(0，b，c)，D1(0，0，c).

所以＝(－a，0，c)，＝(－a，0，－c)，·＝a2－c2，当a＝c时，符合.

＝(－a，－b，c)，＝(－a，0，0)，·＝a2>0，恒成立，不合题意.

＝(－a，b，c)，＝(0，b，0)，·＝b2≠0，不合题意.

＝(－a，b，0)，·＝a2－b2，当a＝b时，·＝0，符合题意.

12.已知M(1，2，3)，N(2，3，4)，P(－1，2，－3)，若||＝3||且∥，则Q点的坐标为(　　)

A.(2，5，0)

B.(－4，－1，－6)或(2，5，0)

C.(3，4，1)

D.(3，4，1)或(－3，－2，－5)

答案　B

解析　设Q(x，y，z)，则＝(x＋1，y－2，z＋3)，＝(1，1，1)，

∴

解得或

∴Q点的坐标为(－4，－1，－6)或(2，5，0).

13.已知空间中三点A(2，0，－2)，B(1，－1，－2)，C(3，0，－4)，设a＝，b＝.

(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；

(2)已知向量ka＋b与b垂直，求k的值；

(3)求△ABC的面积.

解　(1)＝(2，1，－2)，由于c∥，

故可设c＝(2n，n，－2n)，

故|c|＝＝3|n|＝3，

解得n＝±1，

故c为(2，1，－2)或(－2，－1，2).

(2)a＝＝(－1，－1，0)，b＝＝(1，0，－2)，ka＋b＝(1－k，－k，－2)，

由于ka＋b与b垂直，

则(1－k，－k，－2)·(1，0，－2)＝1－k＋4＝0，k＝5.

(3)依题意||＝，||＝，||＝3，

故由余弦定理得

cos A＝＝－，

所以sin A＝＝.

故三角形面积为·||·||·sin A＝×××＝.

三、创新拓展

14.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值.

解　如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系D­xyz，设正方体棱长为1，则A(1，0，0)，E，

B(1，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，

由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)，

因为3＝，

所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)，

所以3a－3＝－a，

解得a＝，

所以点P的坐标为.

由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，

因为PQ⊥AE，所以·＝0，

所以·＝0，

即－－＝0，

解得b＝，所以点Q的坐标为.

因为＝λ，

所以(－1，－1，0)＝λ(，，0)，

∴λ＝－4.