【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件限时小练7　线面、面面的平行与垂直

限时小练7　线面、面面的平行与垂直

1.(多选)下列命题中，正确的命题为(　　)

A.若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β

B.若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0

C.若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面α平行，则n·a＝0

D.若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直

答案　BCD

解析　A中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知BCD正确.

2.若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量为a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.

答案　2∶3∶(－4)

解析　由已知得＝，

＝，

∵a是平面α的一个法向量，

∴a·＝0，a·＝0，

即解得

∴x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4).

3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点.

证明：PC⊥平面BEF.

证明　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，四边形ABCD是矩形，

A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，

D(0，2，0)，P(0，0，2).

又E，F分别是AD，PC的中点，

∴E(0，，0)，F(1，，1).

∴＝(－1，，1)，＝(1，0，1).

设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则即

取x＝1，则y＝，z＝－1，

∴n＝(1，，－1)，

又＝(2，2，－2)＝2n，

∴∥n，∴PC⊥平面BEF.