【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件限时小练9　二面角

限时小练9　二面角

1. (多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值可能为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　ABD

解析　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AA1上的一个动点，F为线段B1C1上的一个动点，

当F与B1重合时，平面EFB即为平面ABB1A1，

此时平面EFB与底面ABCD所成的二面角的平面角为90°，余弦值为0，

当E与A重合，F与C1重合时，平面EFB是平面ABC1D1，

此时平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角为45°，余弦值为.

∴平面EFB与底面ABCD所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是.

2.如图，位于山西省朔州市应县佛宫寺内的释迦塔，俗称应县木塔，是我国现存最高最古老的木结构塔式建筑，木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为30°，则该正八棱锥的高和底面边长之比为________.(参考数据：tan 22.5°＝－1)

答案　

解析　如图所示，点P是正八棱锥的顶点，点O是底面的中心，AB是底面的一条边，M是AB的中点，根据题意知∠BOM＝22.5°，

因为tan 22.5°＝－1，

设AB＝a，则OM＝＝a，

又因为二面角PABO的大小为30°，

即∠PMO＝30°，

所以OP＝OMtan 30°＝a，

即正八棱锥的高和底面边长之比为.

3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在棱A1B1上，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，AA1＝AB＝AC＝2.

(1)证明：DF⊥AE；

(2)当D为A1B1的中点时，求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值.

(1)证明　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，有AA1⊥A1B1，

又∵AE⊥A1B1，AE∩AA1＝A，

∴A1B1⊥平面AA1C1C，

∵A1C1⊂平面AA1C1C，∴A1B1⊥A1C1.

∴AB⊥AC，AB⊥AA1，AC⊥AA1，

如图，分别以AC，AA1，AB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，

则C(2，0，0)，B(0，0，2)，A(0，0，0)，A1(0，2，0)，F(1，0，1)，E(2，1，0).

设D(0，2，t)(0≤t≤2)，

则＝(－1，2，t－1)，＝(2，1，0)，

·＝(－1，2，t－1)·(2，1，0)＝0，

∴DF⊥AE.

(2)解　当D为A1B1的中点时，D(0，2，1)，＝(－1，－1，1)，＝(－1，2，0)，

设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，则即

令y＝1得，n＝(2，1，3)，

容易知平面ABC的法向量为n0＝(0，1，0)，

∴cos〈n，n0〉＝＝＝，

即平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为.