【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件限时小练2　空间向量的数量积

限时小练2　空间向量的数量积

1.(多选)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.给出以下结论中，正确的有(　　)

A.＋＋＋＝0    B.＋－－＝0

C.－＋－＝0    D.·＝·

答案　CD

解析　连接AC，BD相交于点O，连接SO(图略)，则

＋＝2，＋＝2，

∴＋＋＋＝4≠0，故A错误；

－＝，－＝，

∴＋≠0，故B错误；

∵－＋－＝＋＝0，

故C正确；

∵·＝2×2·cos∠ASB，

·＝2×2·cos∠CSD，

又∠ASB＝∠CSD，

∴·＝·，

故D正确.故选CD.

2.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，体对角线AC1与BD1相交于点O，则有(　　)

A.·＝2a2     B.·＝a2

C.·＝a2     D.·＝a2

答案　C

解析　〈，〉＝，又||＝a，

∴·＝||·||·cos＝a2，在方向上投影的数量为a，

故·＝a2，而＝，

∴·＝·＝a2，故C正确.

〈，〉＝，所以·＝－a2.

3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设＝a，＝b，＝c.

(1)试用a，b，c表示出向量；

(2)求BM的长.

解　(1)因为M是PC的中点，

所以＝(＋)

＝[＋(－)]＝[b＋(c－a)]

＝－a＋b＋c.

(2)由于AB＝AD＝1，PA＝2，

所以|a|＝|b|＝1，|c|＝2，

又AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，

所以a·b＝0，a·c＝b·c

＝2×1·cos 60°＝1.

由于＝(－a＋b＋c)，

所以||2＝(－a＋b＋c)2

＝[a2＋b2＋c2＋2(－a·b－a·c＋b·c)]

＝[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝.

所以||＝，所以BM的长为.