【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件限时小练28　双曲线的标准方程

限时小练28　双曲线的标准方程

1.椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　　)

A.1   B.1或－2

C.1或   D.

答案　A

解析　由题意知

解得a＝1.

2.在△ABC中，|AB|＝4，△ABC的内切圆切AB于点D，且|AD|－|BD|＝2，则顶点C的轨迹为(　　)

A.椭圆   B.圆

C.双曲线   D.双曲线的一部分

答案　D

解析　如图，△ABC的内切圆与边BC，AC的切点分别为E，F，

∴|AD|＝|AF|，|BD|＝|BE|，|CE|＝|CF|，

又|AD|－|BD|＝2，

|CA|＝|CF|＋|AF|，

|CB|＝|CE|＋|BE|，

∴|CA|－|CB|＝|AF|－|BE|＝|AD|－|BD|＝2＜|AB|＝4且|CA|＞|CB|，

∴顶点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，除去与AB的交点，故选D.

3.在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程.

解　因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝，

所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k.

由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.

所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20.

以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示.

设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0).

由|PM|－|PN|＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4.

由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，

所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，

故所求方程为－＝1(x＞2).