高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册3.3 抛物线集体备课课件ppt

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第3章 圆锥曲线与方程
第二课时　抛物线的方程与性质的应用
课标要求
1.了解抛物线的简单应用.2.能运用抛物线的方程及简单几何性质，解决与抛物线有关的问题.
素养要求
通过本节课进一步提升逻辑推理及数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、直线与抛物线的位置关系1.思考　类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系.
提示　如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点.
(1)当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有____个不同的公共点，此时直线与抛物线______；若Δ＝0，则直线与抛物线有____个公共点，此时直线与抛物线______；若Δ<0，则直线与抛物线______公共点，此时直线与抛物线______.(2)当k＝0时，直线与抛物线的轴____________，此时直线与抛物线有____个公共点，直线与抛物线______.
相交
两
一
相切
没有
相离
平行或重合
相交
1
温馨提醒　(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.(2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况.
3.做一做　已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则(　　)
A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点
C
解析　因为直线y＝kx－k＝k(x－1)，所以直线过点(1，0).又点(1，0)在抛物线y2＝2px(p>0)的内部，所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0，直线与抛物线有两个公共点.故选C.
二、弦长问题1.思考　过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫作焦点弦，如图.如何求弦AB的长度？
提示　(1)利用弦长公式.
(2)根据抛物线的定义AB＝x1＋x2＋p.
2.填空　(1)一般弦长
x1＋x2＋p
温馨提醒　设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准方程形式下的弦长公式为：
3.做一做　过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为(　　) A.16 B.14 C.12 D.10
C
解析　设抛物线的焦点为F(1，0)，则AB＝AF＋BF＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝10＋2＝12.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
题型一　直线与抛物线的位置关系
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；当k<1时，且k≠0时，l与C有两个公共点；当k>1时，l与C没有公共点.
判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点.
训练1 已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－1，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是____________.
例2 过点P(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，弦AB恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度.
题型二　与抛物线有关的焦点弦及弦的中点问题
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2).∵P是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，
消x整理得ky2－8y－32k＋8＝0.
训练2 (1)已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是(　　)
A
(2)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0).直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2，2)，则抛物线的方程为________，直线l的方程为________.
y2＝4x
x－y＝0
解析　由题意知抛物线的方程为y2＝4x，设直线l与抛物线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
题型三　与抛物线有关的最值问题
例3 如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积.
因为－2求与抛物线有关的最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的最值、求抛物线上一点到定直线的最值，解与抛物线有关的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，借助目标函数最值的求法解决.
训练3 求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离.
课堂小结
1.牢记1个知识点 直线与抛物线的相交弦问题.2.掌握3种方法
课堂小结
3.注意2个易错点(1)涉及弦长时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件致错.(2)忽略斜率不存在或二次项系数为0的情况致错.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.设AB为过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的弦，则AB的最小值为(　　)
C
2.若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　　)
A
解析　由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.
3.已知抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是(　　)
A
法二　设与y＝4x－5平行的抛物线y＝4x2的切线方程为y＝4x＋m，
4.(多选)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是(　　)
BC
A.－2 B.－1 C.1 D.2
得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.当k＝0时，得x＝0，即交点为(0，0)，当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k＜0或0＜k≤1.综上，k的取值范围是[－1，1].故选BC.
5.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　) A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2
B
6.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
0或1
解析　当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点；当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，所以k＝1.综上，k＝0或k＝1.
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解析　设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，Δ>0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，
8.已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则AB的最小值为________.
11.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是(　　 )
ABD
解析　把点B(1，2)代入抛物线方程y2＝2px，得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故A正确；
设AC的中点为M(x0，y0)，
因为AF＋CF≥AC，AF＋CF＝x1＋1＋x2＋1＝2x0＋2，所以2x0＋2≥6，得x0≥2，即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确.
(2)设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值.
解　由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b(b≥0)，代入抛物线方程，可得x2－4kx－4b＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以y1＋y2＝4k2＋2b，因为线段PQ的中点的纵坐标为1，所以2k2＋b＝1，即2k2＝1－b≥0，所以0