数学选择性必修第一册4.2 等差数列课文内容ppt课件

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第4章 数列
第二课时　等差数列的性质及实际应用
课标要求
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
素养要求
通过推导等差数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养；通过利用等差数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
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一、等差数列的通项公式与函数的关系1.思考　观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？提示　由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，故an是函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)，点(n，an)则是函数f(x)＝dx＋(a1－d)图象上的均匀分布的孤立的点.
2.填空　等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数，点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点. 温馨提醒　等差数列的图象是一条直线上的一系列孤立的点，因此涉及等差数列中的项、过两点的直线斜率及数列的单调性的问题，利用多点共线即可快速求解.
3.做一做　已知数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n(n∈N*)，则实数a＝________.
0
解析　∵{an}是等差数列，且an＝an2＋n，∴an是关于n的一次函数，∴a＝0.
二、等差数列的性质1.思考　(1)如果一个数列的前有限项是等差数列，那么这个数列是等差数列吗？提示　不一定，证明一个数列是等差数列，一定要体现出任意性.(2)在等差数列{an}中，a5＋a8＝3，a3＋a10等于多少？除了基本量法，有何简单方法？提示　a5＋a8＝a1＋4d＋a1＋7d＝a1＋2d＋a1＋9d＝a3＋a10＝3.发现在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则有am＋an＝ap＋aq.
2.填空　(1)若{an}是公差为d的等差数列，则an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*). (2){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝____________. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝________. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的____，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. (3)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为______数列.
ap＋aq
2ak
和
等差
(4)若{an}是公差为d的等差数列，则①{c＋an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列；②{can}(c为任一常数)是公差为______的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为______的等差数列.(5)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为________________的等差数列.(6)若{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为______数列；d<0⇔{an}为______数列；d＝0⇔{an}为常数列.
2d
d
cd
pd1＋qd2
递增
递减
温馨提醒　一般地，运用等差数列的性质解题可以起到化繁为简、优化解题过程的作用，但解题时要注意性质运用的限制条件.
3.做一做　思考辨析，判断正误(1)等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.( )提示　反例：若an＝n－1，则a10＝9，a1＋a9＝8，不满足a10＝a1＋a9.(2)若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.( )(3)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6，…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3，…也是等差数列.( )提示　反例：设一数列为1，3，5，…，另一数列为4，6，8，…，显然1，4，3，6，5，8，…不是等差数列.(4)若数列{an}为公差为d的等差数列，则an＋1＝an－1＋2d，n>1，且n∈N*.( )
×
√
×
√
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 已知数列{an}为等差数列，且公差为d. (1)若a15＝8，a60＝20，求a105的值；
题型一　等差数列性质的应用
法三　∵{an}为等差数列，∴a15，a60，a105也成等差数列，则2a60＝a15＋a105，∴a105＝2×20－8＝32.
(2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.
解　由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，∴a2＋a5＝17.
等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量.(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
训练1 (1)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
20
解析　3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20.
(2)已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________.
27
解析　一　由性质可知，数列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差数列，所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27.法二　设等差数列{an}的公差为d，则(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，解得d＝－2，所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝(a2＋a5＋a8)＋3d＝27.
例2 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.
题型二　等差数列的设法与求解
迁移 已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式.
法二　由于数列{an}为等差数列，所以可设前三项分别为a－d，a，a＋d，
等差数列项的常见设法(1)通项法：设数列的通项公式，即设an＝a1＋(n－1)d.(2)对称项设法：当等差数列{an}的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….对称项设法的优点是：若有n个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为na.
训练2 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数.
D
题型三　等差数列的实际应用
例3 数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2 021共2 021个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有(　　) A.132项 B.133项 C.134项 D.135项
解析　被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{an}，则an＝8＋15(n－1)＝15n－7.
解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中.(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.
训练3 假设某市2021年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米，那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米.
2030
课堂小结
1.牢记2个知识点(1)等差数列与一次函数的关系.(2)等差数列的性质.2.掌握2种常用方法(1)等差数列的常见设法.(2)等差数列实际应用问题的步骤.3.注意1个易错点解题时注意运用相关性质的限制条件.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
C
2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为(　　) A.12 B.8 C.6 D.4
B
解析　由等差数列性质得，a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
A
4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A，B，C，D，E五个人分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A，B，C三人所得钱数之和与D，E二人所得钱数之和相同，且A，B，C，D，E每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C分得物品的钱数是(　　)
C
5.(多选)已知等差数列{an}中，a1＝3，公差为d(d∈N*)，若2 021是该数列的一项，则公差d不可能是(　　 ) A.2 B.3 C.4 D. 5
BCD
4
7.已知数列{an}是等差数列.若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，则k＝________.
18
9.已知三个数成单调递增的等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数.
解　设这三个数分别为a－d，a，a＋d，且d>0.
∵d>0，∴a＝6，d＝2.∴这三个数是4，6，8.
A
12.若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q＝________.
0
解析　法一　设{an}的公差为d，∵ap＝aq＋(p－q)d，∴q＝p＋(p－q)d，即q－p＝(p－q)d.∵p≠q，∴d＝－1.∴ap＋q＝ap＋(p＋q－p)d＝q＋q×(－1)＝0.
法二　∵数列{an}为等差数列，
如图所示，由图易知|OC|＝p＋q，即点C的坐标为(p＋q，0)，故ap＋q＝0.
13.首项为a1，公差为d(d∈N*)的等差数列{an}满足下列两个条件： ①a3＋a5＋a7＝93； ②满足an>100的n的最小值是15. 试求公差d和首项a1的值.
解　∵a3＋a5＋a7＝93，∴3a5＝93，∴a5＝31.∵an>100，即an＝a5＋(n－5)d>100，
14.设数列{an}(n＝1，2，…)是等差数列，且公差为d，若数列{an}中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”. (1)若a1＝4，d＝2，求证：该数列是“封闭数列”；
证明　∵a1＝4，d＝2，∴an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2.∴对任意的m，n∈N*，有am＋an＝(2m＋2)＋(2n＋2)＝2(m＋n＋1)＋2.∵m＋n＋1∈N*，令p＝m＋n＋1，则有ap＝2p＋2，它是该数列的项.∴该数列是“封闭数列”.
(2)试判断通项为an＝2n－7(n∈N*)的数列是否为“封闭数列”，为什么？
解　∵an＝2n－7(n∈N*)，∴a1＝－5，a2＝－3.∴a1＋a2＝－8.令an＝a1＋a2＝－8，得2n－7＝－8，